この章のまとめ

(1) $\sigma_v=\sqrt{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/m}=2.15\,\mathrm{cm\,s^{-1}}$、2光子の Doppler のずれの広がりは $k_{\mathrm{eff}}\sigma_v=3.47\times10^{5}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$（$2\pi$ で割って $55.2\,\mathrm{kHz}$）である。$\Omega_{\mathrm{eff}}=3k_{\mathrm{eff}}\sigma_v=1.04\times10^{6}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ の $\pi$ パルスの長さは $\pi/\Omega_{\mathrm{eff}}=3.02\,\mu\mathrm s$ である。速度が $\sigma_v$ ずれた原子の離調は $\Omega_{\mathrm{eff}}/3$ で、第24章の Rabi の線の式で $P=0.9\sin^2(\pi\sqrt{10}/6)=0.89$ だけ遷移する。

(2) 第26章の飛行時間法の式で、$\sigma(2T)=\sqrt{\sigma_0^2+( k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/m)(2T)^2}=\sqrt{(1.00\times10^{-3})^2+(4.64\times10^{-4})(0.04)}\,\mathrm m=4.42\,\mathrm{mm}$ である。落ちる距離は $g(2T)^2/2=0.196\,\mathrm m$、速さは $2gT=1.96\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ である。雲が $4.4\,\mathrm{mm}$ に広がるので、Raman の光のビームはそれより十分太くしないと、雲の端の原子で Rabi 周波数が下がり、パルスの面積がずれてコントラストが落ちる。

(3) 位相は 29.3 の例題と同じ $k_{\mathrm{eff}}gT^2=1.58\times10^{6}\,\mathrm{rad}$ である。時刻 $2T$ の2光子の Doppler のずれは $k_{\mathrm{eff}}\cdot2gT/2\pi=(1.61\times10^{7})(1.96)/2\pi\,\mathrm{Hz}=5.03\,\mathrm{MHz}$ で、これを $2T=0.2\,\mathrm s$ で割ると $25.1\,\mathrm{MHz\,s^{-1}}$ になる。これは $\Delta\phi=0$ の条件 $\lvert \alpha_{\mathrm{ch}}\rvert =k_{\mathrm{eff}}g$ から出る $25.1\,\mathrm{MHz\,s^{-1}}$ と同じである。縞を暗く保つ掃引は、落ちる原子に2光子の共鳴を保ち続ける掃引に等しい。(1) の $\pi$ パルスの幅 $\Omega_{\mathrm{eff}}/2\pi=166\,\mathrm{kHz}$ に比べ、掃引しなければ $5\,\mathrm{MHz}$ もずれて最後のパルスは原子に届かない。

(4) 北を $y$、東を $x$、上を $z$ とし、$\bm{k}_{\mathrm{eff}}=k_{\mathrm{eff}}\bm{e}_z$ とする。$\bm{\Omega}_{\mathrm E}=\Omega_{\mathrm E}(\cos35.7^\circ\,\bm{e}_y+\sin35.7^\circ\,\bm{e}_z)$ と速度 $\bm{v}$ の外積の $z$ 成分は $v_x\Omega_{\mathrm E}\cos35.7^\circ$ なので、式 (29.11) から位相は $2k_{\mathrm{eff}}\Omega_{\mathrm E}\cos35.7^\circ\,v_xT^2$ で、東西の速度 $v_x$ にだけ依存する。$v_x$ が広がり $\sigma_v$ の Gauss 分布なので、位相の広がりは

$$\sigma_\phi=2k_{\mathrm{eff}}\Omega_{\mathrm E}\cos35.7^\circ\,\sigma_vT^2=2(1.61\times10^{7})(7.292\times10^{-5})(0.812)(2.15\times10^{-2})(0.01)=0.411\,\mathrm{rad}$$

である。$\langle\cos(\Delta\phi_0+\sigma_\phi u)\rangle=\mathrm{e}^{-\sigma_\phi^2/2}\cos\Delta\phi_0$（$u$ は標準正規分布）なので、コントラストは $C=\mathrm{e}^{-0.411^2/2}=0.919$ になる。第19章の不均一な広がりが Bloch ベクトルの位相を散らして信号を減らしたのと同じで、原子ごとの位相のばらつきが縞を薄める。精密な重力計では、最後のパルスの光の向きを少し傾けてこの位相を打ち消す。

(5) 式 (29.14) で $\delta g/g=1/(0.919\times10^{3}\times1.58\times10^{6})=6.89\times10^{-10}$、高さにして $(\delta g/g)R_{\mathrm E}/2=2.19\,\mathrm{mm}$ である。重力の勾配の補正 $1.80\times10^{-8}$ はこの約 $26$ 倍なので、高さ $1\,\mathrm{cm}$ の違いも見分けられる装置では、勾配の補正を必ず入れなければならない。逆に、高さの違う2つの干渉計を同じ光で同時に動かして差を取れば、鏡の振動を共通に消したまま、勾配そのものを測ることができる。