出てくるもの（1）：重力加速度

光学と量子エレクトロニクス　第29章 §29.3　★★★ 一様な重力の中で、Mach–Zehnder 型の位相差は $\Delta\phi=(\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}-\alpha_{\mathrm{ch}})T^2$。経路積分の位相に分けると、伝搬の位相は2本で打ち消し合い、光の位相だけが残る

光の位相から読む

重力の中で、原子の位置は $\bm{r}(t)=\bm{r}_0+\bm{v}_0t+\frac12\bm{g}t^2$ である。式 (29.5) を式 (29.6) の $\Delta\phi$ に入れると、2階差分は $\bm{r}(0)-2\bm{r}(T)+\bm{r}(2T)=\bm{g}T^2$ なので、光の位相の寄与は $\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}T^2$ である。落ちる原子にとって、2光子の共鳴の周波数は Doppler のずれ $\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}t$ で時間とともに変わる。各パルスで共鳴を保つため、光の周波数の差を $\omega_1-\omega_2=\text{一定}+\alpha_{\mathrm{ch}}t$ のように一定の速さ $\alpha_{\mathrm{ch}}$ で掃引すると、$\Phi(t)=\alpha_{\mathrm{ch}}t^2/2$ の2階差分 $\alpha_{\mathrm{ch}}T^2$ が引かれる。合わせて

$$\Delta\phi=\bigl(\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}-\alpha_{\mathrm{ch}}\bigr)T^2\tag{29.7}$$

を得る。掃引の速さ $\alpha_{\mathrm{ch}}$ を変えながら出口の確率を測ると、$\alpha_{\mathrm{ch}}=\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}$ で $\Delta\phi=0$ になり、そこで $P_s$ が最小になる。この点は $T$ によらないので、いくつかの $T$ で縞を取ると、すべての縞が共通に暗くなる点として $\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}$ が決まる（図 29.3）。重力加速度は、光の周波数の掃引の速さと光の波数という、どちらも周波数の標準で測れる2つの量の比 $g=\lvert \alpha_{\mathrm{ch}}\rvert /k_{\mathrm{eff}}$ として読み出される。

経路積分の位相の3つの寄与

上の計算は、光の位相を原子の古典的な軌道の上で評価しただけで、2本の経路を進む間に波束が受け取る位相を数えていない。この点を経路積分で確かめる。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章）で示したとおり、Lagrangian が位置と速度の2次以下なら、伝播の核は古典の経路の作用 $S_{\mathrm{cl}}$ を使って $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ に前因子を掛けた形に厳密に書ける。重力の中の自由な原子の Lagrangian $L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2+m\bm{g}\cdot\bm{r}$ はこの形である。

経路積分を2本の経路に当てはめた結果を、証明を省いて引く¹1P. Storey and C. Cohen-Tannoudji, “The Feynman path integral approach to atomic interferometry. A tutorial, J. Phys. II France 4, 1999 (1994).下の脚注へ閉じる。

一様な重力のとき、3つを1つずつ数える。上の経路は時刻 $0$ に速度を $\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}}/m$ だけ増やし、時刻 $T$ に元へ戻す。下の経路は時刻 $T$ に同じだけ増やす。図 29.2 のとおり、2本は時刻 $2T$ に同じ点で閉じるので、分離の項は $0$ である。伝搬の項は、前半で上の経路が速い分の運動エネルギーと位置エネルギーの差と、後半で下の経路が速い分の差が、ちょうど打ち消し合って $0$ になる（29.3 の例題の (3) で確かめる）。内部状態のエネルギーも、2本がそれぞれ時間 $T$ ずつ $| s \rangle$ にいるので打ち消し合う。光の項は、各経路の位置で光の位相を評価すると、上の経路の位置が時刻 $T$ に下の経路より $\hbar k_{\mathrm{eff}}T/m$ だけずれていることを含めても $\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{g}T^2$ になる。したがって式 (29.7) は、光の位相を古典の軌道で評価した近似でなく、一様な重力では厳密な結果である。

この打ち消し合いは、位相の別の書き方からも分かる。2本の経路の高さの差を $\Delta z(t)$ とすると、位置エネルギーの差 $mg\Delta z(t)$ が時間 $\mathrm{d} t$ の間に位相 $mg\Delta z\,\mathrm{d} t/\hbar$ を与える。2本の経路が $(z,t)$ 面で囲む面積は $\int\Delta z\,\mathrm{d} t=\hbar k_{\mathrm{eff}}T^2/m$ なので

$$\lvert \Delta\phi\rvert =\frac{mg}{\hbar}\int\Delta z\,\mathrm{d} t=\frac{mg}{\hbar}\cdot\frac{\hbar k_{\mathrm{eff}}T^2}{m}=k_{\mathrm{eff}}gT^2\tag{29.9}$$

である。原子干渉計の重力の位相は、2本の経路が時空で囲む面積に比例する。運動エネルギーの差の寄与と光の位相の寄与の間の入れ替わりは書き方の違いで、合計はどちらで数えても同じになる。

重力の勾配

地球の重力は高さとともに弱くなる。鉛直上向きに $z$ をとり、$\ddot z=-g+\gamma_{\mathrm g}z$（$\gamma_{\mathrm g}=2g/R_{\mathrm E}\approx3.08\times10^{-6}\,\mathrm s^{-2}$、$R_{\mathrm E}$ は地球の半径）とすると、$\gamma_{\mathrm g}$ の1次までで

$$z(0)-2z(T)+z(2T)=-gT^2+\gamma_{\mathrm g}\Bigl(z_0T^2+v_0T^3-\frac{7}{12}gT^4\Bigr)\tag{29.10}$$

になる。$z_0$, $v_0$ ははじめの位置と速度（上向きが正）である。最後の項は、原子が落ちて重力の強い所へ入るほど加速が増えることの効果で、静止から落とした原子では位相を相対的に $\frac{7}{12}\gamma_{\mathrm g}T^2$ だけ増やす。勾配があると Lagrangian に $\frac12m\gamma_{\mathrm g}z^2$ が加わる。これも2次なので式 (29.8) は使えるが、2本の経路は時刻 $2T$ に完全には閉じず、分離の項が残る。その大きさは $\hbar k_{\mathrm{eff}}/m$ に比例する小さい補正で、ここでは扱わない。

1　P. Storey and C. Cohen-Tannoudji, “The Feynman path integral approach to atomic interferometry. A tutorial, J. Phys. II France 4, 1999 (1994).