出てくるもの（2）：回転と物質波の Sagnac 効果

光学と量子エレクトロニクス　第29章 §29.4　★★ 回転する装置の中では原子に Coriolis の加速度 $2\bm{v}\times\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}$ が加わり、位相は $2\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot(\bm{v}\times\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}})T^2$。2本の経路が囲む面積で書くと $2m\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\cdot\bm{A}/\hbar$ で、光の Sagnac 効果より $mc^2/(2\hbar\omega)$ 倍大きい

Coriolis の加速度

光と鏡を載せた装置が角速度 $\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}$ で回っているとする（地上の装置なら地球の自転）。この節では Rabi 周波数との混同を避けるため、回転の角速度に添字 rot を付ける。光の位相は装置に固定された座標で決まるので、式 (29.5) の $\bm{r}$ は装置の座標での原子の位置である。この座標では原子に Coriolis の加速度 $-2\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\times\bm{v}=2\bm{v}\times\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}$ が加わる（遠心力の加速度は $\Omega_{\mathrm{rot}}^2$ の2次なので落とす）。$\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}$ が小さく、速度 $\bm{v}$ がほぼ一定とみなせるとき、2階差分は加速度に $T^2$ を掛けたものなので

$$\Delta\phi_{\mathrm{rot}}=2\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot(\bm{v}\times\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}})T^2\tag{29.11}$$

を得る。$\bm{k}_{\mathrm{eff}}$ と $\bm{v}$ の両方に垂直な回転の成分だけが位相に入る。

重力と回転をまとめると、原子干渉計の位相は $\Delta\phi=\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{a}T^2$ で、$\bm{a}$ は光の波面（実際には光を折り返す鏡）に対する原子の加速度である。原子は自由に落ちる慣性系の基準で、干渉計は装置の側の加速度と回転を読んでいる。

囲む面積で書く

2本の経路の時刻 $0$ と $2T$ を結ぶ図形は、辺が $\bm{v}T$ と $\bm{v}T+(\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}}/m)T$ の平行四辺形で、その面積ベクトルは $\bm{A}=\bm{v}T\times(\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}}/m)T$ である。$\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot(\bm{v}\times\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}})=-\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\cdot(\bm{v}\times\bm{k}_{\mathrm{eff}})$ を使うと、式 (29.11) は

$$\lvert \Delta\phi_{\mathrm{rot}}\rvert =\frac{2m}{\hbar}\lvert \bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\cdot\bm{A}\rvert\tag{29.12}$$

になる。原子の速度も光の波数も消え、囲む面積と回転だけが残る。これが物質波の Sagnac 効果である。

同じ式は Hamiltonian からも出る。回転する座標の Hamiltonian は $\hat H=\hat{\bm{p}}^2/(2m)-\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\cdot\hat{\bm{L}}$ で、$\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\cdot(\bm{r}\times\bm{p})=\bm{p}\cdot(\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\times\bm{r})$ を使うと

$$\hat H=\frac{(\hat{\bm{p}}-m\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\times\hat{\bm{r}})^2}{2m}-\frac m2(\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\times\hat{\bm{r}})^2$$

と書き直せる。これは電荷 $q$ の粒子がベクトルポテンシャル $\bm{A}_{\mathrm{vec}}$ の中にあるときの $(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}_{\mathrm{vec}})^2/(2m)$ と同じ形で、$q\bm{A}_{\mathrm{vec}}$ の役を $m\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\times\bm{r}$ が果たす。その回転は $\nabla\times(m\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\times\bm{r})=2m\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}$ で、一様な「磁場」に当たる。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第6章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第6章）で見たとおり、閉じた経路を回る荷電粒子の位相は $q/\hbar$ に囲んだ磁束を掛けたもの（Aharonov–Bohm の位相）で、ここでは磁束が $2m\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}}\cdot\bm{A}$ になって式 (29.12) と一致する。

光の Sagnac 効果との比較

光ファイバーやリングレーザーのジャイロスコープでは、光を回転する閉じた光路の両回りに走らせる。半径 $R$ の円の光路では、光が一周する時間が回転の向きと逆回りで $2\pi R/(c\mp R\Omega_{\mathrm{rot}})$ になり、その差は $\Omega_{\mathrm{rot}}$ の1次で $4A\Omega_{\mathrm{rot}}/c^2$（$A=\pi R^2$）である。位相の差は角周波数 $\omega$ を掛けて

$$\Delta\phi_{\mathrm{light}}=\frac{4\omega A\Omega_{\mathrm{rot}}}{c^2}\tag{29.13}$$

になる。同じ面積で比べると、物質波と光の位相の比は

$$\frac{2mA\Omega_{\mathrm{rot}}/\hbar}{4\omega A\Omega_{\mathrm{rot}}/c^2}=\frac{mc^2}{2\hbar\omega}$$

で、原子の静止エネルギーと光子のエネルギーの比で決まる。${}^{87}\mathrm{Rb}$ と $780\,\mathrm{nm}$ の光では $2.55\times10^{10}$ である。光のジャイロスコープはこの不利を、ファイバーを何千回も巻いて面積を稼ぐことと、光子の数が原子の数よりはるかに多いことで補っている。