出てくるもの (3)：Aharonov–Bohm 効果と Foucault の振り子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第9章 §4.9.5　★★ 磁束を囲んで箱を運ぶと Berry 位相は $q\Phi/\hbar$ になり、Aharonov–Bohm 効果がこの章の特別な場合になる。古典の対応物は Foucault の振り子の振動面の回転

磁束のまわりを運ぶ箱

Berry が最初の論文で挙げた例の1つは、Aharonov–Bohm 効果¹1Y. Aharonov and D. Bohm (1959), Phys. Rev. 115, 485–491.下の脚注へ閉じるをこの章の枠組みで読み直すものである。電荷 $q$ の粒子を小さな箱に閉じ込め、箱の位置 $\bm{R}$ をパラメータとする。空間には細い磁束管があって全磁束 $\Phi$ を運ぶが、箱は磁束管の外にあり、粒子のいる所では磁場は $0$ である。磁場が $0$ でもベクトルポテンシャル $\bm{A}(\bm{r})$ は $0$ でなく、$\nabla\times\bm{A}=0$ である。第4部第6章（第4部第6章）で見たとおり、粒子の Hamiltonian は$\hat H=\frac{1}{2m}(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}}))^2+V(\hat{\bm{r}}-\bm{R})$ で、$V$ は箱の閉じ込めのポテンシャルである。

$\bm{A}=0$ のときの箱の中の固有関数を $\phi_n(\bm{r}-\bm{R})$（実数にとる）とする。箱の中では $\nabla\times\bm{A}=0$ なので、線積分 $\int_{\bm{R}}^{\bm{r}}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}'$ は箱の中の道の選び方に依らず、

$$\psi_n(\bm{r};\bm{R})=\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\int_{\bm{R}}^{\bm{r}}\bm{A}(\bm{r}')\cdot\mathrm{d}\bm{r}'\Bigr)\phi_n(\bm{r}-\bm{R})\tag{4.9.23}$$

が $\bm{A}$ のあるときの固有関数になる（位相因子を掛けると $(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})$ が $\hat{\bm{p}}$ に置き換わる。第4部第6章のゲージ変換と同じ計算）。固有値は $\bm{A}$ が無いときと同じである。

Berry 接続はベクトルポテンシャル

式 (4.9.23) を $\bm{R}$ で微分すると、積分の下端の微分から $-\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\bm{A}(\bm{R})\psi_n$ が、$\phi_n(\bm{r}-\bm{R})$ の微分から $-(\nabla\phi_n)$ に位相因子を掛けたものが出る。$\psi_n^*$ を掛けて積分すると、第2の項は $-\int\phi_n\nabla\phi_n\,\mathrm{d}^3r=-\frac12\int\nabla(\phi_n^2)\,\mathrm{d}^3r=0$ なので

$$\bm{A}_n(\bm{R})=\mathrm{i}\langle \psi_n | \nabla_{\bm{R}}\psi_n \rangle =\frac{q}{\hbar}\bm{A}(\bm{R}),\qquad \gamma_n(C)=\frac q\hbar\oint_C\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{R}=\frac{q\Phi}{\hbar}\tag{4.9.24}$$

となる。Berry 接続は電磁場のベクトルポテンシャルそのもの（の $q/\hbar$ 倍）で、Berry 位相は箱の道が囲む磁束 $\Phi$ に比例する。準位 $n$ にも、箱の形にも、道の形にも依らず、道が磁束管を何回囲んだかだけで決まる。Berry 曲率は $\frac{q}{\hbar}\nabla\times\bm{A}$ で、箱の通る所では $0$ であり、磁束管の中にだけ集中している。4.9.4節の単極子が「パラメータ空間の点に集中した曲率」だったのと同じく、ここでは曲率がパラメータ空間（箱の位置の空間）の1本の線に集中している。

古典の対応物：Foucault の振り子

古典力学に Berry 位相の対応物があるかを考える。第1部第14章の作用角変数で、パラメータをゆっくり変えると $J$ は保たれ、角変数は $\dot\theta=\omega(J,\lambda)$ で進む。パラメータを閉曲線に沿って1周させたとき、角変数の進みは $\int\omega\,\mathrm{d} t$ だけでなく、パラメータの道の形だけで決まるずれを含みうる。Hannay（1985）はこのずれを可積分系について一般に与えた²2J. H. Hannay (1985), J. Phys. A: Math. Gen. 18, 221–230.下の脚注へ閉じる。これを Hannay 角と呼ぶ。量子の動的位相 $-\eta_n=-\frac1\hbar\int E_n\,\mathrm{d} t$ が古典の $\int\omega\,\mathrm{d} t$ に、Berry 位相が Hannay 角にあたる。

Hannay 角の例としてよく引かれるのが Foucault の振り子である。余緯度 $\theta_{\mathrm c}$（北極からの角。緯度は $90^\circ-\theta_{\mathrm c}$）の地点で、地面に固定した東向きを $x$、北向きを $y$ とする。地球の自転の角速度 $\omega_{\mathrm E}$ の鉛直成分は $\omega_{\mathrm E}\cos\theta_{\mathrm c}$ で、小さな振れの振り子は地面に固定した枠で

$$\ddot x=-\omega_0^2x+2\omega_{\mathrm E}\cos\theta_{\mathrm c}\,\dot y,\qquad \ddot y=-\omega_0^2y-2\omega_{\mathrm E}\cos\theta_{\mathrm c}\,\dot x\tag{4.9.25}$$

に従う（Coriolis 力 $-2m\bm{\omega}_{\mathrm E}\times\dot{\bm{r}}$ の水平成分。遠心力は重力に含めた）。$x+\mathrm{i} y$ に組むと、解は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm E}\cos\theta_{\mathrm c}t}$ と振動の積になり、振動面は角速度 $-\omega_{\mathrm E}\cos\theta_{\mathrm c}$（北半球では上から見て時計回り）で回る。地球が1回転（恒星日）する間に、振動面は地面に対して $-2\pi\cos\theta_{\mathrm c}$ 回る。

角度は $2\pi$ を法として意味を持つので、$-2\pi\cos\theta_{\mathrm c}\equiv2\pi(1-\cos\theta_{\mathrm c})=\Theta_C$ である。$\Theta_C$ は、振り子の吊り下げ点の鉛直方向（パラメータ）が1日に描く緯線が、北極側に張る立体角にほかならない。スピン $\frac12$ の Berry 位相 $-\frac12\Theta_C$ と同じ立体角が現れる。球面の緯線を1周する接ベクトルを平行移動したときの回転 $2\pi(1-\cos\theta_0)$（第2部第13章の式 (2.13.24)。$\theta_0$ が緯線の余緯度）とも同じ立体角で、振動面の向きは球面の上で平行移動される接ベクトルにあたる。この角は $\omega_{\mathrm E}$ にも振り子の振幅にも依らず、緯線の形だけで決まる。地球の自転が今の半分の速さでも、1回転あたりの振動面の回転は同じである（式 (4.9.25) の数値積分で確かめた。検算 verify_ch4-09.py）。

量子の言葉でも同じ結論が出る。2次元の等方的な振動子の円運動の状態は、鉛直軸のまわりの角運動量 $\pm\hbar$ を持ち、鉛直軸の向きが閉曲線を描くと式 (4.9.17) で $\mp\Theta_C$ の Berry 位相を拾う。直線の振動は2つの円運動の重ね合わせで、相対位相 $2\Theta_C$ のずれは振動面の向きを $\Theta_C$ だけ回す。

1　Y. Aharonov and D. Bohm (1959), Phys. Rev. 115, 485–491.

2　J. H. Hannay (1985), J. Phys. A: Math. Gen. 18, 221–230.