当てる道具：光のパルスは物質波のビームスプリッタと鏡

光学と量子エレクトロニクス　第29章 §29.2　★★★ $\pi/2$ パルスは原子の波束を2つの運動量に等分するビームスプリッタ、$\pi$ パルスは運動量を入れ替える鏡になる。パルスごとに光の位相が波束に写し取られ、$\pi/2$–$\pi$–$\pi/2$ の干渉計の出口の確率は $\phi_1-2\phi_2+\phi_3$ だけで決まる

パルスの行列

有効な2準位系に、2光子の共鳴（$\delta=0$）で、長さ $\tau$ の一定の強さのパルスを当てる。光の位相を $\phi$ とすると、回転座標の Hamiltonian は $-\frac{\hbar\Omega_{\mathrm{eff}}}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sigma_++\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\sigma_-)$（$\sigma_+=| s \rangle \langle g |$）である。括弧の中の演算子は2乗すると単位行列になるので、時間発展の演算子は

$$\hat U(\Theta,\phi)=\cos\frac\Theta2\,\hat 1+\mathrm{i}\sin\frac\Theta2\,\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}| s \rangle \langle g |+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}| g \rangle \langle s |\bigr),\qquad \Theta=\Omega_{\mathrm{eff}}\tau\tag{29.4}$$

になる。$\Theta$ は第19章のパルスの面積である。この式の読み方は2つある。1つは、$| g \rangle$ から $| s \rangle$ へ移る振幅が $\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sin(\Theta/2)$、逆に $| s \rangle$ から $| g \rangle$ へ移る振幅が $\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\sin(\Theta/2)$ だということで、光子を吸収する向きの遷移には光の位相 $\phi$ が、放出する向きには $-\phi$ が付く。もう1つは、運動量の言葉で、$| s \rangle$ へ移った波束は運動量 $\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}}$ をもらって速度を変え、$| g \rangle$ に残った波束は速度を変えないということである。

光の位相 $\phi$ は、パルスの時刻 $t_i$ に原子がいる位置 $\bm{r}$ での、2本の光の位相の差である。2本の光の位相の差は $\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{r}-\Phi(t)$ と書ける（$\Phi(t)$ は周波数の差 $\omega_1-\omega_2$ を時間で積分した位相を、共鳴の周波数で回る基準から測ったもの）。したがって

$$\phi_i=\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{r}(t_i)-\Phi(t_i)+\phi_i^{(0)}\tag{29.5}$$

で、$\phi_i^{(0)}$ は実験者が光の位相変調器で加えられる位相である。原子の位置が光の波長 $2\pi/k_{\mathrm{eff}}\approx390\,\mathrm{nm}$ だけ動くと、写し取られる位相は $2\pi$ 変わる。原子干渉計が位置と加速度に敏感なのは、この写し取りのためである。

$\Theta=\pi/2$ のパルス（$\pi/2$ パルス）は $| g,\bm{p} \rangle$ を $| g,\bm{p} \rangle$ と $| s,\bm{p}+\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}} \rangle$ の等しい重ね合わせにする。2つの成分は速度が $\hbar k_{\mathrm{eff}}/m$ だけ違うので、時間とともに空間で離れていく。これが物質波のビームスプリッタである。$\Theta=\pi$ のパルス（$\pi$ パルス）は $| g \rangle$ と $| s \rangle$ を入れ替える。$| g,\bm{p} \rangle$ は運動量をもらって $| s,\bm{p}+\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}} \rangle$ になり、$| s,\bm{p}+\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}} \rangle$ は運動量を返して $| g,\bm{p} \rangle$ になる。離れていく2つの波束の速度を入れ替えて、互いに近づかせるので、これが物質波の鏡である。

Mach–Zehnder 型の干渉計

時刻 $0$, $T$, $2T$ に $\pi/2$, $\pi$, $\pi/2$ のパルスを当てる（図 29.2）。はじめの状態を $| g,\bm{p} \rangle$ とし、最後に $| s \rangle$ にいる確率を求める。$| s \rangle$ の出口へ至る経路は2本ある。上の経路は、時刻 $0$ で $| s \rangle$ へ移り（振幅 $\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1}/\sqrt2$）、時刻 $T$ で $| g \rangle$ へ戻され（$\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_2}$）、時刻 $2T$ で再び $| s \rangle$ へ移る（$\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_3}/\sqrt2$）。下の経路は、時刻 $0$ で $| g \rangle$ に残り（$1/\sqrt2$）、時刻 $T$ で $| s \rangle$ へ移り（$\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_2}$）、時刻 $2T$ で $| s \rangle$ に残る（$1/\sqrt2$）。2本の振幅の和は

$$-\frac{\mathrm{i}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\phi_1-\phi_2+\phi_3)}+\frac{\mathrm{i}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_2}=\frac{\mathrm{i}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_2}\bigl(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta\phi}\bigr)$$

で、その絶対値の2乗から

$$P_s=\frac{1-\cos\Delta\phi}{2},\qquad \Delta\phi=\phi_1-2\phi_2+\phi_3\tag{29.6}$$

を得る。2本の経路は、どちらも時間 $T$ だけ $| s \rangle$ に、時間 $T$ だけ $| g \rangle$ にいるので、内部状態のエネルギーの差による位相（Ramsey の方法が読む位相）は打ち消し合い、残るのは光の位相の組み合わせだけである。

真ん中の $\pi$ パルスの役割

2つの $\pi/2$ パルスだけを時間 $T$ 離して当てると（第24章の Ramsey の方法と同じ順序）、同じ計算で $P_s=(1+\cos(\phi_1-\phi_2))/2$ になる。光の位相の差 $\phi_1-\phi_2=\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot(\bm{r}(0)-\bm{r}(T))$ には、原子のはじめの速度 $\bm{v}_0$ が $-\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{v}_0T$ の形で入る。雲の中の原子は速度がばらばらなので、縞の位相も原子ごとにばらばらになり、平均すると縞が消える。Mach–Zehnder 型の組み合わせでは、等速の運動 $\bm{r}(t)=\bm{r}_0+\bm{v}_0t$ に対して

$$\bm{r}(0)-2\bm{r}(T)+\bm{r}(2T)=\bm{0}$$

なので、はじめの位置と速度が位相から消える。残るのは2階差分で拾われる加速度だけである。真ん中の $\pi$ パルスは、第19章のスピンエコーで不均一な広がりによる位相のずれを打ち消した $\pi$ パルスと同じ働きをしている。エコーが周波数のばらつきを打ち消したように、原子干渉計の $\pi$ パルスは速度のばらつきを打ち消す。