取り出すモードと物質のモデル：向かい合う2本の光と運動量でラベルした2準位

光学と量子エレクトロニクス　第29章 §29.1　★★★ 向かい合う2本の光で2光子 Raman 遷移を起こすと、原子は内部状態を $| g \rangle$ から $| s \rangle$ へ変えると同時に運動量 $\hbar k_{\mathrm{eff}}\approx2\hbar k$ をもらう。内部状態と運動量を組にした2準位系が、この章のすべての計算の土台になる

第26章（第26章）では、光で原子を数 $\mu\mathrm K$ まで冷やした。冷えた原子は遅く、その de Broglie 波長は数十 $\mathrm{nm}$ になり、原子の雲を数百ミリ秒のあいだ自由に飛ばしておける。第24章（第24章）の Ramsey の方法は、2つの $\pi/2$ パルスの間に原子の内部状態の位相を進めて干渉させ、遷移の周波数を読むものだった。この章では、同じ Ramsey の考え方を、原子の内部状態だけでなく重心の運動にも当てはめる。光子を吸収した原子は運動量 $\hbar k$ をもらって動きを変えるので、光のパルスは原子の波束を2つの運動量の重ね合わせに分ける。2つに分かれた波束を別の経路で飛ばし、再び重ねて干渉させるのが原子干渉計である。

この章で取り出すモードは、互いに逆向きに進む2本の光で、その周波数の差が原子の2つの基底状態の間隔に合わせてある。物質のモデルは、2つの長寿命の基底状態 $| g \rangle$, $| s \rangle$ と、光の励起状態 $| e \rangle$ を持つ Λ 型の3準位原子で、その重心が自由に（重力の中で）動く。結合は第18章（第18章）の双極子相互作用で、励起状態を消去すると、内部状態と運動量を組にした2準位系 $\{| g,\bm{p} \rangle ,| s,\bm{p}+\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}} \rangle \}$ の Rabi 振動になる。29.1節でこの有効な2準位系を作り、29.2節で光のパルスが物質波のビームスプリッタと鏡になること、3つのパルスで Mach–Zehnder 型の干渉計を組むと出口の確率が光の位相の組み合わせ $\phi_1-2\phi_2+\phi_3$ だけで決まることを示す。29.3節でこの組み合わせが重力加速度 $\bm{g}$ を測ることを示し、経路積分の位相の3つの寄与（伝搬・光・分離）に分けて同じ答えを確かめる。29.4節で回転を入れ、Coriolis 力による位相が物質波の Sagnac 効果になることを示す。29.5節で置いた近似と測る量（干渉縞と感度）を述べ、29.6節で光の Mach–Zehnder 干渉計・中性子の重力干渉・Coriolis 力と並べる。

離調は記法の正本どおり $\Delta=\omega_{\mathrm L}-\omega_0$（レーザーから原子を引いた差）と書き、2光子の離調を $\delta$ と書く。数値の例には ${}^{87}\mathrm{Rb}$ を使う。D2 線の波長 $\lambda=780.24\,\mathrm{nm}$、自然幅 $\Gamma/2\pi=6.07\,\mathrm{MHz}$、質量 $m=1.443\times10^{-25}\,\mathrm{kg}$、基底状態の超微細構造の間隔 $6.834\,682\,610\,904\,\mathrm{GHz}$ は D. A. Steck, Rubidium 87 D Line Data による。重力加速度は $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、地球の自転の角速度は $\Omega_{\mathrm E}=7.292\times10^{-5}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ とする。

なぜ2光子の遷移を使うか

光子1個を吸収させて原子の波束を分けると、分かれた片方は光の励起状態にいて、寿命 $1/\Gamma$（${}^{87}\mathrm{Rb}$ で $26\,\mathrm{ns}$）のうちに自然放出で向きのでたらめな反跳を受ける。反跳を受けた波束はもう一方と干渉しない。数百ミリ秒のあいだ2本の経路を保つには、分かれた両方の内部状態が長寿命でなければならない。

そこで2つの基底状態（${}^{87}\mathrm{Rb}$ では超微細構造の $F=1$ と $F=2$）を使う。これを $| g \rangle$ と $| s \rangle$ と書く（第19章の電磁誘起透明化の節の Λ 型と同じ名前の付け方である。第19章）。角周波数 $\omega_1$、波数ベクトル $\bm{k}_1$ の光で $| g \rangle \to| e \rangle$ へ上げ、角周波数 $\omega_2$、波数ベクトル $\bm{k}_2$ の光の誘導放出で $| e \rangle \to| s \rangle$ へ下ろす。励起状態に実際に上がらないよう、どちらの光も $| e \rangle$ への共鳴から大きく離調 $\Delta$ だけずらしておく（図 29.1）。この2光子の過程を 誘導 Raman 遷移と呼ぶ。1回の遷移で原子は光子 $\hbar\bm{k}_1$ を吸収し $\hbar\bm{k}_2$ を放出するので、運動量の変化は

$$\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}}=\hbar(\bm{k}_1-\bm{k}_2)\tag{29.1}$$

である。2本の光を向かい合わせる（$\bm{k}_2\approx-\bm{k}_1$）と $k_{\mathrm{eff}}\approx2k$ になり、運動量のやりとりが最大になる。同じ向きに進む2本では $\bm{k}_1-\bm{k}_2$ がほとんど $0$ で、内部状態は変わっても原子は動かない。これは第24章の Ramsey の方法（原子時計）の配置である。

有効な2準位系

第19章の Λ 型の Hamiltonian で、光 1 と光 2 の Rabi 周波数を $\Omega_1$, $\Omega_2$ とする。離調 $\lvert \Delta\rvert$ が $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Gamma$ より十分大きいと、$| e \rangle$ の振幅は小さく、$| g \rangle$ と $| s \rangle$ の振幅に追従してゆっくり変わる。$| e \rangle$ の振幅の時間微分を落として代数的に解き（断熱消去。第21章のコヒーレンスの断熱消去と同じ操作である。第21章）、$| g \rangle$, $| s \rangle$ の方程式に戻すと、$| g \rangle$ と $| s \rangle$ を直接つなぐ行列要素 $-\hbar\Omega_1\Omega_2/(4\Delta)$ が残る。これを2準位の形 $-\hbar\Omega_{\mathrm{eff}}/2$ に書くと、有効な Rabi 周波数は

$$\Omega_{\mathrm{eff}}=\frac{\Omega_1\Omega_2}{2\Delta}\tag{29.2}$$

である（符号は光の位相の取り方に吸収できるので、この章では大きさだけを使う）。同じ消去で、$| g \rangle$ と $| s \rangle$ のエネルギーはそれぞれ $\hbar\Omega_1^2/(4\Delta)$, $\hbar\Omega_2^2/(4\Delta)$ だけずれる。これは第18章の光シフトで、2光子の共鳴の条件をずらすが、2本の強さを選べば打ち消せる。

運動量を入れると、$| g,\bm{p} \rangle$ と結合するのは $| s,\bm{p}+\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}} \rangle$ だけである。光の場の空間依存 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{r}}$ が運動量を $\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}}$ だけずらす演算子だからである。したがって、自由な原子の運動量の固有状態の組 $\{| g,\bm{p} \rangle ,| s,\bm{p}+\hbar\bm{k}_{\mathrm{eff}} \rangle \}$ は閉じた2準位系になる。2つのエネルギーの差は、内部状態の間隔 $\hbar\omega_{sg}$ に運動エネルギーの差を足したものなので、2光子の共鳴の条件は

$$\delta\equiv(\omega_1-\omega_2)-\Bigl(\omega_{sg}+\frac{\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{p}}{m}+\frac{\hbar k_{\mathrm{eff}}^2}{2m}\Bigr)=0\tag{29.3}$$

になる（光シフトは打ち消してあるとする）。括弧の第2項は2光子の Doppler のずれ $\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{v}$、第3項は2光子の反跳のずれである。2光子の離調 $\delta$ が原子の速度に $k_{\mathrm{eff}}$ の割合で依存するので、短いパルス（大きい $\Omega_{\mathrm{eff}}$）ほど広い速度の範囲の原子をまとめて遷移させ、長いパルスほど狭い速度の組だけを選ぶ。

この有効な2準位系は、第18章の回転座標の Hamiltonian $-\frac{\hbar\delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega_{\mathrm{eff}}}{2}\sigma_x$ と同じ形をしている。違いは、$\sigma_z$ の固有状態が内部状態と運動量の組だという点だけである。第19章の Bloch 球も、Rabi 振動も、パルスの面積も、そのまま使える。