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この章のまとめ

2026年10月15日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第28章 原子時計

AI 生成・木下が未勉強

光学と量子エレクトロニクス　第28章 §28.7　★★★ 原子時計は、周波数を合わせる局部発振器と、ずれを知らせる2準位原子の Ramsey 分光と、数える光周波数コムの組で、安定度は Q 値と原子の数、確度は格子の魔法波長などで決まり、10−1810^{-18} に達すると高さの物差しになる

原子時計は、局部発振器の周波数を2準位原子の遷移の周波数に合わせ続ける装置である。Ramsey の方法で自由な時間 tft_{\mathrm f} のあいだ原子と発振器の位相の差を積算し、縞の傾きが最大の点でずれを読む。原子 NN 個の測定の二項分布の揺らぎ（量子射影雑音）から、安定度は σy(τ)=12πν0tftc/(Nτ)\sigma_y(\tau)=\frac{1}{2\pi\nu_0t_{\mathrm f}}\sqrt{t_{\mathrm c}/(N\tau)} で、遷移の周波数 ν0\nu_0 が1乗で入るので、マイクロ波から光へ移ると安定度が数桁上がる。光の周波数は光周波数コムでマイクロ波の数に直して数える。

光の時計では原子の運動による周波数のずれが大きく、原子を光格子に閉じ込めて Lamb–Dicke の領域に入れ、搬送波だけを測る。格子の光が準位ごとに違う光シフトを与える問題は、基底状態と励起状態の分極率が等しくなる魔法波長で解き、Sr では 813.4 nm813.4\,\mathrm{nm} である。こうして 10−1810^{-18} の桁に達した時計は、静止した時計の進みが重力ポテンシャルで変わる効果を 1 cm1\,\mathrm{cm} の高さの差で見分け、時計の比較が高さの測定になる。

この章で使ったモードと2準位系の見方を、巻の表に合わせてまとめておく。取り出したモードは、時計遷移を駆動する局部発振器の1つのモードと、原子を閉じ込める格子の定在波のモードである。物質のモデルは、寿命の長い時計遷移を持つ2準位原子と、格子の中の重心の調和振動子である。結合は時計の光では共鳴の双極子相互作用（パルスの面積で制御する）、格子の光では遠い離調の光シフトで、近似は短いパルスの極限・Lamb–Dicke の展開・光シフトの2次での打ち切り・重力場の1次の展開だった。次の第29章（第29章）では、Ramsey の手順の「2つのパルスで分けて、自由な時間の位相を積算して、重ねて読む」を原子の重心の運動に当て、物質波の干渉計を作る。

総合問題　光格子時計2台で建物の高さを測る ★★★

オリジナルSr の光格子時計（ν0=4.292×1014 Hz\nu_0=4.292\times10^{14}\,\mathrm{Hz}）を2台作り、建物の1階と上の階に置いて光ファイバーで比べる。どちらの時計も N=2000N=2000 個の原子、tf=0.40 st_{\mathrm f}=0.40\,\mathrm s、tc=1.2 st_{\mathrm c}=1.2\,\mathrm s で動き、量子射影雑音だけで安定度が決まるとする。格子は 813.4 nm813.4\,\mathrm{nm}、深さ U0=80ERU_0=80E_{\mathrm R}（ER/h=3.47 kHzE_{\mathrm R}/h=3.47\,\mathrm{kHz}）で、時計の光の反跳エネルギーは Erec,c/h=4.70 kHzE_{\mathrm{rec,c}}/h=4.70\,\mathrm{kHz} である。

  1. (1) 1台の時計の σy(1 s)\sigma_y(1\,\mathrm s) と、2台の周波数の比の σy(1 s)\sigma_y(1\,\mathrm s) を求めよ。1台で 10−1810^{-18} に達するまでの時間も求めよ。（使う道具：28.2節、第24章の Ramsey の縞）
  2. (2) 格子の振動の周波数 νtr\nu_{\mathrm{tr}} と Lamb–Dicke パラメータ η\eta を求め、Ramsey の縞の幅と比べて搬送波だけを選べることを確かめよ。（使う道具：28.3節、第27章の光格子）
  3. (3) 格子の光の周波数が魔法の値から 1 GHz1\,\mathrm{GHz} ずれたときの周波数のずれと、10−1810^{-18} を保つために許される格子の光の周波数のずれを求めよ。d(Δα/αg)/dνlat=1.96×10−5 GHz−1\mathrm{d}(\Delta\alpha/\alpha_g)/\mathrm{d}\nu_{\mathrm{lat}}=1.96\times10^{-5}\,\mathrm{GHz^{-1}} を使え。（使う道具：28.3節、第25章の双極子力のポテンシャル）
  4. (4) 長時間の比較で、上の階の時計の周波数が1階より相対的に 1.64×10−171.64\times10^{-17} 高かった。高さの差を求めよ。また、1 cm1\,\mathrm{cm} の高さの差を2台の比の雑音（1標準偏差）と同じ大きさにするのに要する平均の時間を求めよ。（使う道具：28.4節、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第11章）
  5. (5) Sr の時計の周波数を SI 秒（Cs の噴水時計、σy(1 s)=4.24×10−14\sigma_y(1\,\mathrm s)=4.24\times10^{-14}）で測る。相対的な不確かさ 2×10−162\times10^{-16} に達するまでの時間と、そのときの Sr の周波数の不確かさを Hz\mathrm{Hz} で求めよ。周波数のつなぎには何を使うか。（使う道具：28.1節・28.2節、第23章の光周波数コム）
解答

(1) 式 (28.9) から

σy(1 s)=12π×4.292×1014×0.401.22000=9.27×10−16×2.45×10−2=2.27×10−17\sigma_y(1\,\mathrm s)=\frac{1}{2\pi\times4.292\times10^{14}\times0.40}\sqrt{\frac{1.2}{2000}}=9.27\times10^{-16}\times2.45\times10^{-2}=2.27\times10^{-17}

である。2台の雑音は独立なので、比の揺らぎは分散の和で 2\sqrt2 倍になり、3.21×10−173.21\times10^{-17} である。1台で 10−1810^{-18} に達する時間は (2.27×10−17/10−18)2 s=516 s(2.27\times10^{-17}/10^{-18})^2\,\mathrm s=516\,\mathrm s である。

(2) 式 (28.12) から νtr=280×3.47 kHz=62.0 kHz\nu_{\mathrm{tr}}=2\sqrt{80}\times3.47\,\mathrm{kHz}=62.0\,\mathrm{kHz}、式 (28.13) から η=4.70/62.0=0.275\eta=\sqrt{4.70/62.0}=0.275 である。Ramsey の縞の幅は 1/(2tf)=1.25 Hz1/(2t_{\mathrm f})=1.25\,\mathrm{Hz} で、側帯波の間隔 62.0 kHz62.0\,\mathrm{kHz} よりおよそ 5×1045\times10^{4} 倍狭いので、搬送波だけを選んで測れる。

(3) U0/h=80×3.47 kHz=277 kHzU_0/h=80\times3.47\,\mathrm{kHz}=277\,\mathrm{kHz} なので、∣δν∣=1.96×10−5×277×103 Hz=5.45 Hz\lvert \delta\nu\rvert =1.96\times10^{-5}\times277\times10^{3}\,\mathrm{Hz}=5.45\,\mathrm{Hz} である。許されるずれは ν0×10−18/5.45 Hz GHz−1=4.29×10−4/5.45 GHz=78.8 kHz\nu_0\times10^{-18}/5.45\,\mathrm{Hz\,GHz^{-1}}=4.29\times10^{-4}/5.45\,\mathrm{GHz}=78.8\,\mathrm{kHz} で、格子が浅いぶん例題 28.4 の 63.0 kHz63.0\,\mathrm{kHz} より緩い。

(4) 式 (28.18) から Δh=1.64×10−17/(1.091×10−16 m−1)=0.150 m\Delta h=1.64\times10^{-17}/(1.091\times10^{-16}\,\mathrm m^{-1})=0.150\,\mathrm m、すなわち 15.0 cm15.0\,\mathrm{cm} である。1 cm1\,\mathrm{cm} は 1.09×10−181.09\times10^{-18} で、比の雑音 3.21×10−17/τ/s3.21\times10^{-17}/\sqrt{\tau/\mathrm s} がこれに等しくなる時間は τ=(3.21×10−17/1.09×10−18)2 s=866 s\tau=(3.21\times10^{-17}/1.09\times10^{-18})^2\,\mathrm s=866\,\mathrm s、15分足らずである。

(5) Cs 噴水の不確かさが 2×10−162\times10^{-16} に下がる時間は (4.24×10−14/2×10−16)2 s=4.5×104 s(4.24\times10^{-14}/2\times10^{-16})^2\,\mathrm s=4.5\times10^{4}\,\mathrm s、およそ 12.512.5 時間である。Sr の時計自身は数秒でこの精度を超えるので、測定の不確かさは Cs の側で決まる。Sr の周波数の不確かさは 4.292×1014×2×10−16 Hz=0.086 Hz4.292\times10^{14}\times2\times10^{-16}\,\mathrm{Hz}=0.086\,\mathrm{Hz} である。つなぎには光周波数コムを使い、νrep\nu_{\mathrm{rep}} を Sr の時計のレーザーに合わせて、νrep\nu_{\mathrm{rep}} を Cs の時計で数える（式 (28.4)）。SI 秒で光の時計の周波数を測る精度が Cs の時計で頭打ちになることは、秒の定義を光の遷移へ移す議論の理由の1つである。

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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