出てくるもの（3）：重力赤方偏移で高さを測る

光学と量子エレクトロニクス　第28章 §28.4　★★★ 静止した時計の固有時は $\mathrm{d}\tau=\sqrt{g_{00}}\,\mathrm{d} t$ で進み、高さ $\Delta h$ の差は周波数の相対的な差 $g\Delta h/c^2$ になる。$1\,\mathrm{cm}$ で $1.09\times10^{-18}$ なので、$10^{-18}$ の時計の比較は高さの測定になる

静止した時計の進み

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第11章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第11章）では、Newton の重力ポテンシャル $\Phi$ の弱い静的な重力場で、計量の時間の成分が

$$g_{00}\approx1+\frac{2\Phi}{c^2}\tag{28.16}$$

になること、空間に静止した時計の固有時 $\tau$ が座標時 $t$ と $\mathrm{d}\tau=\sqrt{g_{00}}\,\mathrm{d} t$ の関係で進むことを示した。この結果をそのまま使う。

高さの違う2点 A, B に同じ種類の原子時計を置く。どちらの時計も、自分の固有時で測って同じ周波数 $\nu_0$ で振動する。B の時計の振動を光（または電波）で A へ送る。計量が時間によらないので、座標時で測った信号の周期は送られる途中で変わらない。B で固有時の周期 $1/\nu_0$ の振動は、座標時では周期 $1/(\nu_0\sqrt{g_{00}(\mathrm B)})$ である。A がこれを自分の固有時で測ると周期は $\sqrt{g_{00}(\mathrm A)}/(\nu_0\sqrt{g_{00}(\mathrm B)})$ になる。したがって A で比べた B の時計の周波数は

$$\frac{\nu_{\mathrm B\to\mathrm A}}{\nu_0}=\sqrt{\frac{g_{00}(\mathrm B)}{g_{00}(\mathrm A)}}\approx1+\frac{\Phi_{\mathrm B}-\Phi_{\mathrm A}}{c^2}\tag{28.17}$$

である。2つ目の形は $\lvert \Phi\rvert /c^2\ll1$ の1次まで展開したものである。

地表の近くでは $\Phi=gh$（$h$ は高さ）と置け、B が A より $\Delta h$ 高いと

$$\frac{\nu_{\mathrm B}-\nu_{\mathrm A}}{\nu_0}=\frac{g\Delta h}{c^2}=1.09\times10^{-16}\,\mathrm m^{-1}\times\Delta h\tag{28.18}$$

になる。高い所の時計は速く進む。逆に高い所から見ると、低い所から来た光は周波数が下がって見え、これを重力赤方偏移と呼ぶ。$\Delta h=1\,\mathrm{cm}$ では $1.09\times10^{-18}$ で、時計の比較が $10^{-18}$ の精度に達すると、$\mathrm{cm}$ の高さの差が時計の周波数の差として読める。

時計で測る高さ

測地学で使う高さは、重力ポテンシャルの等しい面（ジオイド）からの差で定義される。水準測量は、この差を水平な視準線と目盛りの読みで、短い区間ごとに足し合わせて求める。長い距離では誤差が積み重なり、海で隔てられた2点の高さは直接つなげない。式 (28.17) は、2つの時計の周波数の比がその場所の重力ポテンシャルの差だけで決まることを示している。時計を光ファイバーでつないで比べれば、途中の経路によらず、ポテンシャルの差すなわち高さの差を直接測れる。これを相対論的測地と呼ぶ。

相対論的測地では、時計の比較の不確かさがそのまま高さの不確かさになる。$10^{-18}$ の時計の比較は $1\,\mathrm{cm}$ の高さに、$10^{-17}$ は $10\,\mathrm{cm}$ に相当する。実際に光格子時計を使い、東京スカイツリーの地上階と展望台の間（高さの差およそ $450\,\mathrm m$）で時計の周波数を比べて重力赤方偏移を確かめた実験がある（M. Takamoto et al., Nature Photonics 14, 411 (2020)）。