授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第29章 §29.6　★★ 光の Mach–Zehnder 干渉計の出口の式、量子力学の重力の中の中性子の干渉、力学の Coriolis 力が、それぞれ原子干渉計の出口の確率・重力の位相・回転の位相になる

光の Mach–Zehnder 干渉計

光学の授業では、50:50 のビームスプリッタ2枚で組んだ Mach–Zehnder 干渉計の出口の強度を、腕の位相差 $\varphi$ を使って $I\sin^2(\varphi/2)$ と $I\cos^2(\varphi/2)$ と書く（第9章 第9章）。原子干渉計の式 (29.6) は $P_s=\sin^2(\Delta\phi/2)$ で、同じ形である。光のビームスプリッタは空間の1か所に置いた半透鏡だが、原子のビームスプリッタは時間の1点に置いた光のパルスで、波束を2つの運動量に分ける。光の鏡は光の進む向きを変え、原子の鏡（$\pi$ パルス）は原子の速度を入れ替える。光の干渉計の位相差は2本の腕の光路の差から生じるのに対し、原子の干渉計では、各パルスで光の位相が写し取られ、その組み合わせが位相差になる。光の干渉計で腕の片方に置いた位相板の役を、原子の干渉計では光の位相変調器の $\phi_i^{(0)}$ が果たす。

重力の中の中性子の干渉

量子力学の授業では、重力の中の波動関数の位相の例として、中性子の干渉の実験（Colella, Overhauser, Werner 1975、Phys. Rev. Lett. 34, 1472）を習う。水平に進む中性子の2本の経路が高さ $H$ だけ違い、水平に長さ $L$ だけ並んで進むとき、上の経路は位置エネルギーが $mgH$ だけ高く、その分だけ運動エネルギーが小さい。時間 $L/v$ の間に溜まる位相の差は

$$\Delta\phi_{\mathrm{COW}}=\frac{mgH}{\hbar}\cdot\frac Lv=\frac{2\pi m^2g\lambda_{\mathrm{dB}}HL}{h^2}\tag{29.15}$$

である（$\lambda_{\mathrm{dB}}=h/(mv)$ は de Broglie 波長）。これは式 (29.9) と同じく「位置エネルギーの差×時間 $/\hbar$」で、$HL/v$ が $(z,t)$ 面で囲む面積に当たる。中性子の干渉計は結晶の Bragg 反射で波を分けるので経路が空間に固定され、原子干渉計は光のパルスで分けるので経路が時間に固定される。どちらでも、重力の位相は2本の経路が時空で囲む面積で決まる。

Coriolis 力

力学の授業では、回転する座標で運動を書くと Coriolis 力 $-2m\bm{\Omega}\times\bm{v}$ と遠心力が現れ、Foucault の振り子の振動面が緯度 $\lambda_{\mathrm{lat}}$ で $\Omega_{\mathrm E}\sin\lambda_{\mathrm{lat}}$ の速さで回ることを習う。式 (29.11) は、Coriolis の加速度による原子の横へのずれ $(\bm{v}\times\bm{\Omega}_{\mathrm{rot}})T^2$ を、光の波長で測ったものである。29.4 の例題で位相に入ったのが自転の鉛直の成分 $\Omega_{\mathrm E}\sin35.7^\circ$ だったのは、Foucault の振り子と同じ理由で、水平に動く物体の水平な横ずれを起こすのが鉛直の成分だからである。Foucault の振り子では横ずれが1日かけて積もって見えるのに対し、原子干渉計では $5\,\mathrm{ms}$ の間の $1\,\mathrm{nm}$ 以下の横ずれが位相として読める。