何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第29章 §29.5　★★ 励起状態の断熱消去で Raman 遷移を2準位にしたこと、パルスを瞬間的としたこと、位相を古典の経路の作用で数えたことの3つ。測る量は出口の確率の縞で、感度は1回あたり $1/(C\sqrt N\,k_{\mathrm{eff}}T^2)$

近似

29.1節で Raman 遷移を有効な2準位系にしたのは、離調 $\lvert \Delta\rvert$ が Rabi 周波数と自然幅より大きい極限で、光の励起状態の振幅を消去した結果である。落とした項は2つの形で残る。1つは光シフトで、2本の光の強さの比と1光子の離調の選び方で打ち消す。もう1つは励起状態からの自然放出で、29.1 の例題のとおり1回の $\pi$ パルスあたり $\pi\Gamma/\Delta$ の確率で波束を壊す。

29.2節の行列 (29.4) は、パルスの間に原子が動かず、2光子の離調 $\delta$ も $0$ だとした。実際のパルスは長さ $\tau$ を持ち、その間の運動は位相に $\tau/T$ の程度の補正を加える。速度による離調 $\delta=\bm{k}_{\mathrm{eff}}\cdot\bm{v}$ を持つ原子では、パルスが $\pi/2$ や $\pi$ からずれて縞のコントラストが下がる。どちらも小さいパラメータ $\tau/T$ と $k_{\mathrm{eff}}\sigma_v/\Omega_{\mathrm{eff}}$ が $0$ の極限で (29.4) に戻る。

29.3節では、位相を古典の経路の作用で数えた。これは経路積分を停留位相で評価する $\hbar\to0$ の近似の形をしているが、Lagrangian が位置と速度の2次以下なら厳密である（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章）。一様な重力・重力の勾配・回転はどれもこの条件を満たす。3次以上の項（重力の勾配の高次・Coriolis と遠心力が速度に及ぼす効果の高次）を入れると、古典の経路の位相は $\hbar$ の展開の最初の項になる。

測る量：縞と感度

出口では、2つの基底状態にいる原子の数 $N_g$, $N_s$ を、状態を選んだ蛍光で数え、$P_s=N_s/(N_g+N_s)$ を出す。原子の数の揺らぎを割り算で消すためである。実際の縞は $P_s=\frac12(1-C\cos\Delta\phi)$ の形で、$C\le1$ をコントラストと呼ぶ。コントラストを下げるのは、パルスの不完全さ（29.1 の例題の (4)）と、雲の中で原子ごとに位相が違うこと（回転と速度の広がり。総合問題の (4)）である。縞の傾きが最も大きい $\Delta\phi=\pi/2$ の付近で、$N$ 個の独立な原子の数え方の揺らぎ（$P_s$ の標準偏差 $1/(2\sqrt N)$）が位相の揺らぎ $\delta\phi=1/(C\sqrt N)$ になる。これは独立な $N$ 個の粒子で位相を測るときの標準量子限界（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章）で、重力計の感度は1回あたり

$$\frac{\delta g}{g}=\frac{1}{C\sqrt N\,k_{\mathrm{eff}}gT^2}\tag{29.14}$$

になる。$T^2$ に比例して感度が上がるので、原子を長く飛ばせる冷えた雲と高い装置が有利になる。

実験では、Kasevich と Chu（1991、Phys. Rev. Lett. 67, 181）が、レーザー冷却したナトリウム原子に向かい合う光の Raman パルスを $\pi/2$–$\pi$–$\pi/2$ と当て、この章の干渉計で重力加速度を測った。同じ年に、微細加工した透過型の回折格子で原子を分ける干渉計（Keith ほか 1991、Phys. Rev. Lett. 66, 2693）と、光の Ramsey の配置の原子干渉計で Sagnac 効果を見た実験（Riehle ほか 1991、Phys. Rev. Lett. 67, 177）が報告されている。その後、落下するセシウム原子の干渉計で、測った $g$ が落下する鏡の光干渉計を使う重力計の値と比べられ（Peters, Chung, Chu 1999、Nature 400, 849）、原子線の干渉計で地球の自転が測られた（Gustavson, Bouyer, Kasevich 1997、Phys. Rev. Lett. 78, 2046）。

もう1つの重要な誤差は、光を折り返す鏡の振動である。2本の光の片方を鏡で折り返して向かい合わせる配置では、式 (29.5) の位置は鏡から測った位置になり、鏡が動くとその変位が $\bm{k}_{\mathrm{eff}}$ を掛けて位相に入る。干渉計が測るのは鏡に対する原子の加速度なので、鏡の揺れは $g$ の変化と見分けがつかない。