ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部 第5章 §4.5.5 ★★ 不純物の近くの原子の細部（中心細胞補正）・Si の谷の構造・不純物どうしの相関・空乏層の端のぼやけ・再結合の微視的な過程を削った。浅い準位の 1s だけが実験とずれる
不純物の近くの細部と谷の構造
有効質量近似 (4.5.2) は、ポテンシャルを遠方の − e 2 / ( 4 π ε 0 ε r r ) -e^2/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}r) − e 2 / ( 4 π ε 0 ε r r ) r ≲ a r\lesssim a r ≲ a 中心細胞補正 と呼ぶ。包絡線が原点で有限の値を持つ s s s 0 0 0 p p p
もう1つは、Si の伝導帯の底が k = 0 \bm{k}=0 k = 0 ⟨ 100 ⟩ \langle100\rangle ⟨ 100 ⟩ 31.27 m e V 31.27\,\mathrm{meV} 31.27 meV 184 , 713）。測られた P の値は 45.59 m e V 45.59\,\mathrm{meV} 45.59 meV 23 , 2082）、1s は 14 meV ずれるが、同じ計算の 2 p 2p 2 p s s s
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの a / a D → 0 a/a_{\mathrm D}\to0 a / a D → 0 0.055 0.055 0.055 証明 要確認（ゆっくり変わる弱い摂動について、ギャップの端から分かれる束縛状態が有効質量の方程式で近似されることは周期作用素の均質化で示されているとされるが、Coulomb の特異点を含む場合の前提と誤差は原論文で確かめていない。実験では 1s だけがずれる） ｜ 行き先 近似の数理 第9章 ・近似の数理 第12章
不純物どうしの相互作用と並び方
4.5.3 節では、ドナーを互いに独立に扱い、準位の幅を 0 0 0 4.5.3 節）。さらに高いドープでは、不純物のでたらめさが伝導帯の端をぼかし（バンドの裾）、ギャップを実質的に狭める。これらは独立なドナーの描像では出てこない。
空乏層の端
空乏近似は、空乏層の中のキャリアを 0 0 0 e e ϕ / ( k B T ) \mathrm{e}^{e\phi/( k_{\mathrm B} T)} e e ϕ / ( k B T ) Debye 長
λ D = ε 0 ε r k B T e 2 N D (4.5.26) \lambda_{\mathrm D}=\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r} k_{\mathrm B} T}{e^2N_{\mathrm D}}}\tag{4.5.26} λ D = e 2 N D ε 0 ε r k B T ( 4.5.26 )
の数倍である。式 (4.5.20) の x n x_{\mathrm n} x n x n / λ D = 2 ( e V b i / k B T ) N A / ( N A + N D ) x_{\mathrm n}/\lambda_{\mathrm D}=\sqrt{2(eV_{\mathrm{bi}}/ k_{\mathrm B} T)N_{\mathrm A}/(N_{\mathrm A}+N_{\mathrm D})} x n / λ D = 2 ( e V bi / k B T ) N A / ( N A + N D ) e V b i / k B T eV_{\mathrm{bi}}/ k_{\mathrm B} T e V bi / k B T
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの λ D / x n → 0 \lambda_{\mathrm D}/x_{\mathrm n}\to0 λ D / x n → 0 k B T / ( e V b i ) → 0 k_{\mathrm B} T/(eV_{\mathrm{bi}})\to0 k B T / ( e V bi ) → 0 証明 条件付き（λ D / x n \lambda_{\mathrm D}/x_{\mathrm n} λ D / x n 第4部第9章 で計算する） ｜ 行き先 近似の数理 第7章
低注入と再結合
Shockley の式は、注入された少数キャリアが多数キャリアより少なく（低注入）、空乏層の中で再結合が起きないことを使った。順方向の電圧が上がって p ( x n ) p(x_{\mathrm n}) p ( x n ) N D N_{\mathrm D} N D e e V / ( 2 k B T ) \mathrm{e}^{eV/(2 k_{\mathrm B} T)} e e V / ( 2 k B T ) ∝ n i e e V / ( 2 k B T ) \propto n_{\mathrm i}\mathrm{e}^{eV/(2 k_{\mathrm B} T)} ∝ n i e e V / ( 2 k B T ) ∝ n i 2 e e V / ( k B T ) \propto n_{\mathrm i}^2\mathrm{e}^{eV/( k_{\mathrm B} T)} ∝ n i 2 e e V / ( k B T ) τ p \tau_p τ p τ n \tau_n τ n
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの δ p / N D → 0 \delta p/N_{\mathrm D}\to0 δ p / N D → 0 証明 条件付き（擬 Fermi 準位が空乏層の中で一定であること＝空乏層を横切る時間が再結合の寿命より十分短いこと。ドリフト拡散の方程式の中では漸近展開として整合するが、微視的な導出は要確認） ｜ 行き先 近似の数理 第8章
近似の裏付け
型 C（閉じる） ｜ 小さいもの 過剰な少数キャリアの再結合を − δ p / τ p -\delta p/\tau_p − δ p / τ p 証明 C 型＝内部の評価なし ｜ 行き先 近似の数理 第8章
例題 4.5.8 空乏近似と低注入はどこまで使えるか ★★
オリジナル 例題 4.5.6 の接合（N D = 10 16 c m − 3 N_{\mathrm D}=10^{16}\,\mathrm{cm^{-3}} N D = 1 0 16 c m − 3 x n = 0.302 μ m x_{\mathrm n}=0.302\,\mu\mathrm m x n = 0.302 μ m V b i = 0.774 V V_{\mathrm{bi}}=0.774\,\mathrm V V bi = 0.774 V
(1) n 側の Debye 長 λ D \lambda_{\mathrm D} λ D x n x_{\mathrm n} x n (2) V = 0.6 V V=0.6\,\mathrm V V = 0.6 V N D N_{\mathrm D} N D n i = 10 10 c m − 3 n_{\mathrm i}=10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}} n i = 1 0 10 c m − 3 p ( x n ) = N D p(x_{\mathrm n})=N_{\mathrm D} p ( x n ) = N D
解答 (1) λ D = 8.854 × 10 − 12 × 11.7 × 0.02585 / ( 1.602 × 10 − 19 × 10 22 ) = 4.09 × 10 − 8 m = 40.9 n m \lambda_{\mathrm D}=\sqrt{8.854\times10^{-12}\times11.7\times0.02585/(1.602\times10^{-19}\times10^{22})}=4.09\times10^{-8}\,\mathrm m=40.9\,\mathrm{nm} λ D = 8.854 × 1 0 − 12 × 11.7 × 0.02585/ ( 1.602 × 1 0 − 19 × 1 0 22 ) = 4.09 × 1 0 − 8 m = 40.9 nm λ D / x n = 0.136 \lambda_{\mathrm D}/x_{\mathrm n}=0.136 λ D / x n = 0.136 x n / λ D = 2 × 29.9 × 10 / 11 = 7.4 x_{\mathrm n}/\lambda_{\mathrm D}=\sqrt{2\times29.9\times10/11}=7.4 x n / λ D = 2 × 29.9 × 10/11 = 7.4 W W W V b i − V V_{\mathrm{bi}}-V V bi − V k B T / e k_{\mathrm B} T/e k B T / e
(2) p n 0 = n i 2 / N D = 10 4 c m − 3 p_{\mathrm n0}=n_{\mathrm i}^2/N_{\mathrm D}=10^4\,\mathrm{cm^{-3}} p n 0 = n i 2 / N D = 1 0 4 c m − 3 p ( x n ) = 10 4 × e 0.6 / 0.02585 = 1.20 × 10 14 c m − 3 p(x_{\mathrm n})=10^4\times\mathrm{e}^{0.6/0.02585}=1.20\times10^{14}\,\mathrm{cm^{-3}} p ( x n ) = 1 0 4 × e 0.6/0.02585 = 1.20 × 1 0 14 c m − 3 N D N_{\mathrm D} N D 0.012 0.012 0.012 p ( x n ) = N D p(x_{\mathrm n})=N_{\mathrm D} p ( x n ) = N D e e V / ( k B T ) = N D 2 / n i 2 = 10 12 \mathrm{e}^{eV/( k_{\mathrm B} T)}=N_{\mathrm D}^2/n_{\mathrm i}^2=10^{12} e e V / ( k B T ) = N D 2 / n i 2 = 1 0 12 V = 0.02585 × 27.6 = 0.714 V V=0.02585\times27.6=0.714\,\mathrm V V = 0.02585 × 27.6 = 0.714 V
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
