何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第5章 §4.5.6　★★ Hall 効果の温度変化で $n(T)$ と $E_{\mathrm D}$、赤外吸収で不純物の準位、容量と電圧の関係で $N_{\mathrm D}$ と $V_{\mathrm{bi}}$、電流と電圧の関係で Shockley の式を確かめる

何の実験の量で確かめるか

Hall 効果の温度変化。Hall 係数は1種類のキャリアなら $-1/(ne)$ で、符号からキャリアの種類が、大きさから密度が分かる（第4部第4章）。これを温度を変えて測り、$\ln n$ を $1/T$ に対して描くと図 4.5.1 の形が得られ、凍結の領域の傾きから $E_{\mathrm D}$（補償なしなら傾きは $E_{\mathrm D}/2$）、飽和の値から $N_{\mathrm D}-N_{\mathrm A}$、真性の領域の傾きから $E_{\mathrm g}/2$ を読み取ることができる。抵抗率と合わせれば移動度 $\mu_{\mathrm e}=\sigma/(ne)$ も分かる（第4部第2章）。

赤外吸収。低温で中性のドナーに赤外光を当てると、包絡線の 1s から $2p$・$3p$ などの励起状態への遷移が鋭い吸収線として現れる。線の間隔は水素の系列を $E_{\mathrm D}$ で縮めた形になり、有効質量近似の検証になる（上で引いた Faulkner と Jagannath らの比較はこの測定による）。

容量と電圧の関係。空乏層は誘電体をはさんだコンデンサとみなせ、単位面積あたりの容量は $C'=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}/W$ である。$N_{\mathrm A}\gg N_{\mathrm D}$ の片側の接合では式 (4.5.20) から

$$\frac{1}{C'^2}=\frac{2(V_{\mathrm{bi}}-V)}{e\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}N_{\mathrm D}}\tag{4.5.27}$$

で、$1/C'^2$ を $V$ に対して描くと直線になり、傾きから $N_{\mathrm D}$、$V$ 軸の切片から $V_{\mathrm{bi}}$ を読み取ることができる。

電流と電圧の関係。$\ln J$ を $V$ に対して描くと、Shockley の式の範囲では傾きが $e/( k_{\mathrm B} T)$、すなわち室温で $1$ 桁あたり $59.5\,\mathrm{mV}$ になる。実際の接合では傾きが $e/(n_{\mathrm{id}} k_{\mathrm B} T)$（$1\le n_{\mathrm{id}}\le2$）になることが多く、$n_{\mathrm{id}}$ を理想因子と呼ぶ。$n_{\mathrm{id}}$ が 2 に近いことは、4.5.5節で述べた空乏層の中の再結合の電流が支配的であることを示す。太陽電池では、開放電圧と光電流の関係 (4.5.25) が同じ $J_{\mathrm s}$ で書けるかを確かめる。

授業で習った形との対応

学部の半導体の授業では、この章の式を次の形で書くことが多い。電荷を $q$（$=e$）、Fermi 準位を $E_{\mathrm F}$（$=\mu$）、バンドの端を $E_{\mathrm C}$・$E_{\mathrm V}$、ドナーの準位を $E_{\mathrm D}$ と書く。この章の $E_{\mathrm D}$ は結合エネルギー（$\varepsilon _{\mathrm c}-\varepsilon _{\mathrm D}$）なので、授業の $E_{\mathrm C}-E_{\mathrm D}$ がこれに当たる。

$$N_{\mathrm D}^+=\frac{N_{\mathrm D}}{1+2\exp\bigl((E_{\mathrm F}-E_{\mathrm D})/ k_{\mathrm B} T\bigr)},\qquad V_{\mathrm{bi}}=\frac{ k_{\mathrm B} T}{q}\ln\frac{N_{\mathrm A}N_{\mathrm D}}{n_{\mathrm i}^2},\qquad I=I_0\bigl(\mathrm{e}^{qV/(n_{\mathrm{id}} k_{\mathrm B} T)}-1\bigr)$$

第1式は式 (4.5.7) と同じで、授業では「縮退度 $g=2$」と呼ぶ因子が、この章では大分配関数 (4.5.6) のスピンの2状態として出た。第2式は式 (4.5.16) の第1の形である。授業ではこれを「接合の両側で Fermi 準位がそろう」図から読み、この章では $\mu$ が平らでなければ電流が流れ続けることと、Einstein の関係 (4.5.18) で $J_n=0$ になることの2通りに言い換えた。第3式は Shockley の式 (4.5.23) に理想因子を入れたもので、$I_0$ は $J_{\mathrm s}$ に面積を掛けたものである。授業では理想因子を測定値の補正として出すことが多いが、この章では $n_{\mathrm{id}}=1$ が低注入と拡散の電流、$n_{\mathrm{id}}=2$ が空乏層の中の再結合または高注入から出ることを4.5.5節で述べた。

授業のバンド図は、縦にエネルギー、横に位置をとり、Fermi 準位を水平な破線で描く（図 4.5.2）。この図の「バンドが曲がる」は、電子のポテンシャルエネルギー $-e\phi(x)$ がバンドの端に足されることそのもので、電場の中で電子は $\varepsilon _{\mathrm c}(x)$ の低い向きへ、正孔は $\varepsilon _{\mathrm v}(x)$ の高い向き（正孔のエネルギーは下向きに測るので、正孔にとってエネルギーの低い向き）へ動く。