この章のまとめ

(1) $E_{\mathrm D}=13.606\times0.067/12.9^2\,\mathrm{eV}=5.48\,\mathrm{meV}$、$a_{\mathrm D}=12.9/0.067\times0.0529\,\mathrm{nm}=10.2\,\mathrm{nm}$ である（例題 4.5.1）。

(2) $N_{\mathrm c}=2.51\times10^{19}\times0.067^{3/2}=4.35\times10^{17}\,\mathrm{cm^{-3}}$ である。$E_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)=0.212$ で $\mathrm{e}^{E_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)}=1.236$、$8(N_{\mathrm D}/N_{\mathrm c})\mathrm{e}^{E_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)}=8\times2.30\times10^{-3}\times1.236=0.0227$ なので、式 (4.5.11) から $n=2N_{\mathrm D}/(1+\sqrt{1.0227})=2N_{\mathrm D}/2.0113=0.9944N_{\mathrm D}$ である。ドナーの 99.4% がイオン化している。$E_{\mathrm D}$ が $k_{\mathrm B} T$ の5分の1しかないうえ、$N_{\mathrm D}$ が $N_{\mathrm c}$ の $1/435$ しかないので、電子はほぼ全部伝導帯に出る。

(3) $N_{\mathrm v}=2.51\times10^{19}\times0.50^{3/2}=8.87\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$、$\sqrt{N_{\mathrm c}N_{\mathrm v}}=1.96\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$、$E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)=27.46$ から$n_{\mathrm i}=1.96\times10^{18}\times\mathrm{e}^{-27.46}=2.3\times10^{6}\,\mathrm{cm^{-3}}$ である。正孔は $p=n_{\mathrm i}^2/n=(2.32\times10^6)^2/(9.94\times10^{14})=5.4\times10^{-3}\,\mathrm{cm^{-3}}$ で、$1\,\mathrm{cm^3}$ に平均 $0.005$ 個しかない。ギャップが Si より $0.3\,\mathrm{eV}$ 大きいだけで $n_{\mathrm i}$ が3桁以上小さくなり、少数キャリアはほとんどいない。

(4) $N_{\mathrm D}^{-1/3}=(10^{15}\,\mathrm{cm^{-3}})^{-1/3}=10^{-5}\,\mathrm{cm}=100\,\mathrm{nm}$ で、$a_{\mathrm D}$ の $9.8$ 倍である。$N_{\mathrm D}^{1/3}a_{\mathrm D}=0.10$ は Mott の判定の $0.26$ より小さい（臨界の密度 $n_{\mathrm c}=1.66\times10^{16}\,\mathrm{cm^{-3}}$ の 17 分の1）ので、包絡線の重なりは小さく、絶対零度では電子が各ドナーに局在した絶縁体である。室温で伝導が起きるのは、(2) のように電子が熱でドナーから伝導帯に出ているからである。

(5) $p$ は無視できるので $\sigma=en\mu_{\mathrm e}=1.602\times10^{-19}\times9.94\times10^{14}\times8000=1.27\,\mathrm{S\,cm^{-1}}$、抵抗率は $\rho=1/\sigma=0.785\,\Omega\,\mathrm{cm}$ である。

(6) 式 (4.5.16) の第1の形で $V_{\mathrm{bi}}=0.02585\times\ln\bigl(10^{17}\times9.94\times10^{14}/(2.32\times10^6)^2\bigr)=1.15\,\mathrm V$ である（n 側はイオン化の割合 0.9944 を入れた $n$ を使い、p 側はアクセプターが全部イオン化しているとした）。第2の形では、n 側で $\varepsilon _{\mathrm c}-\mu= k_{\mathrm B} T\ln(N_{\mathrm c}/n)=0.02585\times\ln(4.35\times10^{17}/9.94\times10^{14})=0.157\,\mathrm{eV}$、p 側で $\mu-\varepsilon _{\mathrm v}= k_{\mathrm B} T\ln(N_{\mathrm v}/N_{\mathrm A})=0.02585\times\ln88.7=0.116\,\mathrm{eV}$ で、$1.42-0.157-0.116=1.15\,\mathrm{eV}$ と一致する。$eV_{\mathrm{bi}}$ はギャップより $0.27\,\mathrm{eV}$ 小さく、その差は両側の $\mu$ とバンドの端の隙間である。2つの形が一致するのは、$n_{\mathrm i}^2=N_{\mathrm c}N_{\mathrm v}\mathrm{e}^{-E_{\mathrm g}/( k_{\mathrm B} T)}$ を第1の形に入れると第2の形になるからである。