出てくるもの1：ドープした半導体のキャリア密度

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第5章 §4.5.3　★★★ n 型の電子の密度は、低温では $\sqrt{N_{\mathrm c}N_{\mathrm D}/2}\,\mathrm{e}^{-E_{\mathrm D}/(2 k_{\mathrm B} T)}$（凍結）、中間で $N_{\mathrm D}$（飽和）、高温で $n_{\mathrm i}$（真性）。素子が使うのは $n$ が温度によらない飽和の領域

n 型半導体の電子の密度

ドナーだけを加えた結晶（$N_{\mathrm A}=0$）を考える。真性のキャリアが無視できる温度では $p\ll n$ で、中性の条件 (4.5.10) は $n=N_{\mathrm D}^+$ になる。式 (4.5.9) から $\mathrm{e}^{\beta\mu}=(n/N_{\mathrm c})\mathrm{e}^{\beta\varepsilon _{\mathrm c}}$ を式 (4.5.7) に入れて $\mu$ を消すと

$$n=\frac{N_{\mathrm D}}{1+2\dfrac{n}{N_{\mathrm c}}\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm D}}}$$

となる。これは $n$ の2次方程式 $\frac{2}{N_{\mathrm c}}\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm D}}n^2+n-N_{\mathrm D}=0$ で、正の解は

$$n=\frac{2N_{\mathrm D}}{1+\sqrt{1+8\dfrac{N_{\mathrm D}}{N_{\mathrm c}}\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm D}}}}\tag{4.5.11}$$

である。平方根の中の $8(N_{\mathrm D}/N_{\mathrm c})\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm D}}$ の大小で、2つの領域に分かれる。

凍結の領域（低温、$8(N_{\mathrm D}/N_{\mathrm c})\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm D}}\gg1$）では

$$n\approx\sqrt{\frac{N_{\mathrm c}N_{\mathrm D}}{2}}\;\mathrm{e}^{-E_{\mathrm D}/(2 k_{\mathrm B} T)}\tag{4.5.12}$$

である。電子のほとんどがドナーに束縛されていて、出ていく割合が指数関数的に小さい。指数の分母が $2 k_{\mathrm B} T$ なのは、真性半導体の $\mathrm{e}^{-E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)}$ と同じ理由である。$\mu$ が $\varepsilon _{\mathrm D}$ と $\varepsilon _{\mathrm c}$ のほぼ中間に来て、電子がドナーから伝導帯へ移るときに越える高さが実質的に $E_{\mathrm D}/2$ になる。

飽和の領域（$8(N_{\mathrm D}/N_{\mathrm c})\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm D}}\ll1$）では $n\approx N_{\mathrm D}$ で、ドナーはほとんどすべてイオン化している。$\mu$ は

$$\varepsilon _{\mathrm c}-\mu= k_{\mathrm B} T\ln\frac{N_{\mathrm c}}{N_{\mathrm D}}\tag{4.5.13}$$

で、ドナーの密度が大きいほど伝導帯に近づく。この領域では電子の密度がドナーの数で決まり、温度にも $E_{\mathrm D}$ にもよらない。少数のキャリアである正孔は、質量作用の法則から $p=n_{\mathrm i}^2/N_{\mathrm D}$ で、$n$ よりはるかに少ない。

真性の領域（高温）では、ギャップを越えて励起される $n_{\mathrm i}$ が $N_{\mathrm D}$ を上回り、ドナーの寄与は相対的に小さくなる。ドナーが全部イオン化しているとして、中性の条件 $n=p+N_{\mathrm D}$ と $np=n_{\mathrm i}^2$ を連立すると

$$n=\frac{N_{\mathrm D}}{2}+\sqrt{\frac{N_{\mathrm D}^2}{4}+n_{\mathrm i}^2}\tag{4.5.14}$$

で、$n_{\mathrm i}\ll N_{\mathrm D}$ なら $n\approx N_{\mathrm D}$、$n_{\mathrm i}\gg N_{\mathrm D}$ なら $n\approx n_{\mathrm i}$ になる。

図 4.5.1 が3つの領域を示す。Si を模した値では、凍結の領域から飽和の領域に移る目安（ドナーの半分がイオン化する温度）は $86\,\mathrm K$、飽和から真性に移る目安（$n_{\mathrm i}=N_{\mathrm D}$ の温度）は $719\,\mathrm K$ で、室温はその間の広い平らな領域の中にある。半導体の素子がドーピングで決めたキャリア密度を当てにできるのは、この平らな領域があるからである。平らな領域の幅を決めているのは、浅い準位の $E_{\mathrm D}$ が小さいことと、ギャップ $E_{\mathrm g}$ が大きいことの両方である。

補償

ドナーとアクセプターを両方加えると（$N_{\mathrm D}>N_{\mathrm A}$）、ドナーの電子はまずアクセプターに落ちて、アクセプターをすべてイオン化させる。これを補償と呼ぶ。伝導帯に出せる電子は $N_{\mathrm D}-N_{\mathrm A}$ 個までに減り、飽和の領域の $n$ は $N_{\mathrm D}-N_{\mathrm A}$ になる。低温では、$N_{\mathrm A}^-=N_{\mathrm A}$ のまま中性の条件 $n+N_{\mathrm A}=N_{\mathrm D}^+$ を式 (4.5.7) と組み合わせて

$$\frac{n(n+N_{\mathrm A})}{N_{\mathrm D}-N_{\mathrm A}-n}=\frac{N_{\mathrm c}}{2}\mathrm{e}^{-E_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)}$$

を得る。$n\ll N_{\mathrm A}$ まで冷やすと $n\approx\frac{(N_{\mathrm D}-N_{\mathrm A})N_{\mathrm c}}{2N_{\mathrm A}}\mathrm{e}^{-E_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)}$ で、指数の分母が $2 k_{\mathrm B} T$ から $k_{\mathrm B} T$ に変わる。補償されていると、空のドナーが常に $N_{\mathrm A}$ 個あり、$\mu$ が $\varepsilon _{\mathrm D}$ の近くに固定される。そのため電子はドナーから伝導帯までの高さ $E_{\mathrm D}$ をまるごと越えなければならない。図 4.5.1 の赤の線の傾きが青の線のほぼ2倍なのはこのためで、測った傾きから $E_{\mathrm D}$ を読むときは補償の有無を確かめる必要がある。

縮退半導体と Mott 転移

ドナーの密度を増やして $N_{\mathrm D}$ が $N_{\mathrm c}$ に近づくと、式 (4.5.13) の $\mu$ が $\varepsilon _{\mathrm c}$ に等しくなり、非縮退近似が使えなくなる（第2部第7章の例題）。このような半導体を縮退半導体と呼び、電子の統計は金属と同じく Fermi 分布そのもので扱う。Si の $N_{\mathrm c}$ は室温で $2.8\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ である。

それより手前で、ドナーどうしの距離そのものが問題になる。ドナーの間隔 $N_{\mathrm D}^{-1/3}$ が $a_{\mathrm D}$ に近づくと、隣のドナーの包絡線が重なり、電子はドナーからドナーへ移れるようになる。ドナーの準位は孤立した準位でなく、幅を持った不純物バンドになる。不純物バンドには、ドナー1個あたり電子1個、すなわち半分だけ電子が入っている。第2部の考え方ならこれは金属であるが、低い密度では電子間の反発のために各ドナーに電子が1個ずつ局在して絶縁体になる。密度を上げると、ある臨界の密度 $n_{\mathrm c}$ で絶縁体から金属に変わる。これが不純物バンドの Mott 転移である。多くの物質を比べると、臨界の密度はおおよそ

$$n_{\mathrm c}^{1/3}a_{\mathrm D}\approx0.26\tag{4.5.15}$$

にそろう（P. P. Edwards and M. J. Sienko (1978), Phys. Rev. B 17, 2575）。この数そのものは経験的なもので、相関の強い問題を解いて得た値ではない（第5部第1章・第5部第2章で相関を扱う）。