授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第4章 §7.4.6　★★ 古典力学の Lyapunov 指数・量子力学の交換子と Poisson 括弧の対応・Ehrenfest 時間を、OTOC とスクランブリング時間と並べる。統計力学の2点相関の緩和との違いも述べる

古典のカオスと Lyapunov 指数

力学の授業では、カオス的な系の軌道は初期条件のずれ $\delta x(0)$ を $\delta x(t)\approx\mathrm{e}^{\lambda t}\delta x(0)$ と指数関数的に広げ、$\lambda$ を Lyapunov 指数と呼ぶと習う。これを Poisson 括弧で書くと、初期の座標 $x_0$ と運動量 $p_0$ について

$$\{x(t),p_0\}=\frac{\partial x(t)}{\partial x_0}\approx\mathrm{e}^{\lambda t}$$

である（$\{q,p\}=1$ の流儀）。量子力学の授業では、交換子は $\left[\hat A,\,\hat B\right]\to\mathrm{i}\hbar\{A,B\}$ と Poisson 括弧に対応すると習う。これを使うと

$$\mathcal C(t)=-\langle \left[\hat x(t),\,\hat p\right]^2 \rangle \approx\hbar^2\{x(t),p_0\}^2\approx\hbar^2\mathrm{e}^{2\lambda t}\tag{7.4.23}$$

となる。OTOC は、古典のカオスの指標（初期条件への感度）の量子版である。式 (7.4.17) の $\lambda_{\mathrm L}$ と比べると、交換子を2乗しているので $\lambda_{\mathrm L}=2\lambda$ の関係にある。

この近似は、$\hbar\mathrm{e}^{\lambda t}$ が系の典型的な作用 $S_{\mathrm{cl}}$ に達すると成り立たなくなる。その時刻

$$t_{\mathrm E}=\frac1\lambda\ln\frac{S_{\mathrm{cl}}}{\hbar}\tag{7.4.24}$$

を Ehrenfest 時間と呼ぶ。授業で習う Ehrenfest の定理（期待値が古典の運動方程式に従う）が、カオス的な系では対数の時間しか持たない理由である。式 (7.4.20) のスクランブリング時間は、$S_{\mathrm{cl}}/\hbar$ を自由度の数 $N$ に読み替えた同じ形をしている。どちらも「小さな広がり（$\hbar$ や $1/N$）が指数関数で全体の大きさに達するまでの時間」である。

統計力学：2点相関の緩和との違い

統計力学の授業では、平衡への緩和を時間相関関数 $\langle \hat A(t)\hat B \rangle$ の減衰で測る。これは時間順序に並んだ2点の相関で、ブラックホールや強く相互作用する系では、局所的な観測量はスクランブリング時間よりずっと早く、温度で決まる時間 $\hbar/( k_{\mathrm B} T)$ の程度で平衡の値に近づく。2点相関が減衰しても、情報は失われていない。$\langle \hat A(t)\hat B \rangle$ が小さくなるのは、$\hat A(t)$ が多くの自由度にまたがって $\hat B$ のまわりでは見えなくなるからで、その広がりそのものを数えるのが OTOC である。第2部第3章の典型性（第2部第3章）の言葉では、部分系の状態が熱的に見えることと、全体が純粋であることは両立し、OTOC が最小値に落ちた後も、全体の状態は純粋なままである。

情報理論・量子情報の授業

情報理論の授業で通信路符号化定理を示すとき、符号語を乱数で選ぶ（乱数符号化）と習う。乱数で選んだ符号の平均の誤りを評価し、平均が小さければ小さい誤りの符号が少なくとも1つあると結論する議論である。定理 7.4.2 は、その量子版で、乱数で選ぶのが符号語でなくユニタリである点だけが違う。量子情報の授業の「量子状態は複製できない」は、式 (7.4.2) の和が一定であることとして、この章でも成り立っている。