この章のまとめ

(1) 式 (1.12.2) のとおり $Q=q\cos\omega t+\dfrac{p}{m\omega}\sin\omega t$, $P=p\cos\omega t-m\omega q\sin\omega t$。実際、$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}=\{Q,H\}$ にあたる $\dot Q=P/m$, $\dot P=-m\omega^2Q$ がこの式で成り立つ。$\{Q,P\}=\cos\omega t\cdot\cos\omega t-\dfrac{\sin\omega t}{m\omega}\cdot(-m\omega\sin\omega t)=1$。

(2) $Q$ の式を $p$ について解くと $p=\dfrac{m\omega(Q-q\cos\omega t)}{\sin\omega t}$。これが $\partial F_1/\partial q$ なので、$q$ で積分して

$$F_1(q,Q,t)=\frac{m\omega}{\sin\omega t}\Bigl(qQ-\frac{q^2+Q^2}{2}\cos\omega t\Bigr)$$

（$Q$ だけの関数の分の不定性は、次の $P$ の式で決まる）。確かめると $P=-\partial F_1/\partial Q=\dfrac{m\omega(Q\cos\omega t-q)}{\sin\omega t}$ で、$p$ の式を $P=p\cos\omega t-m\omega q\sin\omega t$ に入れたものと一致する（$\cos^2+\sin^2=1$ を使う）。$0<\omega t<\pi$ では $\sin\omega t\neq0$ なので $q$ と $Q$ が独立に動かせるので、$F_1$ を使うことができる。

(3) 第1部第3章の総合問題 (6) と同じく、$\dot q^2=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \tau}(q\dot q)-q\ddot q$ で書き換えると、運動方程式 $\ddot q+\omega^2q=0$ を満たす経路では

$$S_{\mathrm{cl}}=\frac m2\bigl[q\dot q\bigr]_0^t-\frac m2\int_0^tq\bigl(\ddot q+\omega^2q\bigr)\mathrm{d}\tau=\frac12\bigl(Q\,P-q\,p\bigr)$$

（$m\dot q$ は運動量で、終点で $P$、始点で $p$）。(2) の $p$, $P$ を入れると

$$S_{\mathrm{cl}}=\frac{m\omega}{2\sin\omega t}\Bigl(Q^2\cos\omega t-qQ-qQ+q^2\cos\omega t\Bigr)=\frac{m\omega}{2\sin\omega t}\Bigl((q^2+Q^2)\cos\omega t-2qQ\Bigr)=-F_1 .$$

流れの母関数は、実際の運動に沿った作用の符号を変えたものである。$m=\omega=1$, $q=1$, $Q=0$, $t=\pi/3$ では$F_1=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}\Bigl(0-\dfrac12\cos\dfrac\pi3\Bigr)=\dfrac{2}{\sqrt3}\cdot\Bigl(-\dfrac14\Bigr)=-\dfrac{\sqrt3}{6}\approx-0.289$、$S_{\mathrm{cl}}\approx0.289$。作用を端の点の関数と見ることは第1部第13章の Hamilton の主関数 $S(q,t)$ につながる。

(4) $P=\dfrac{m\omega(Q\cos\omega t-q)}{\sin\omega t}$ を $Q$ について解くと $Q=\dfrac{q}{\cos\omega t}+\dfrac{P\tan\omega t}{m\omega}$。これを $F_1+QP$ に入れて整理すると

$$F_2(q,P,t)=\frac{qP}{\cos\omega t}+\frac{\tan\omega t}{2}\Bigl(m\omega q^2+\frac{P^2}{m\omega}\Bigr)$$

（$\partial F_2/\partial q=\dfrac{P+m\omega q\sin\omega t}{\cos\omega t}=p$, $\partial F_2/\partial P=Q$ で確かめることができる。$\omega t=\pi/2$ では $\cos\omega t=0$ で $F_2$ を使うことができない。$Q=p/(m\omega)$ と $P=-m\omega q$ になり $q$ と $P$ が独立でなくなるからである）。$t\to0$ で $1/\cos\omega t=1+\mathcal{O}(t^2)$, $\tan\omega t=\omega t+\mathcal{O}(t^3)$ なので

$$F_2=qP+t\Bigl(\frac12m\omega^2q^2+\frac{P^2}{2m}\Bigr)+\mathcal{O}(t^2)=qP+t\,H(q,P)+\mathcal{O}(t^2).$$

式 (1.12.16) と比べると、$\epsilon=t$, $G=H$ の無限小変換の母関数である。時間発展の生成子が $H$ であること（第1部第9章）を、有限の時間の流れの母関数から読み取ることができる。

(5) $H\le E$ は半軸 $\sqrt{2E/(m\omega^2)}$（$q$ 方向）と $\sqrt{2mE}$（$p$ 方向）の楕円の内部で、面積は $\pi\sqrt{2E/(m\omega^2)}\sqrt{2mE}=2\pi E/\omega$。1.12.5節の変換では $H=\omega\tilde P$ なので、$H\le E$ は $0\le\tilde P\le E/\omega$ になり、$\tilde Q$ は $0\le\tilde Q<2\pi$ を1周する。$(\tilde Q,\tilde P)$ 平面では幅 $2\pi$・高さ $E/\omega$ の帯で、面積は $2\pi E/\omega$。楕円の面積と等しく、正準変換で面積が保たれることと合う。新しい変数では $K=\omega\tilde P$ なので、時刻 $t$ の流れは $(\tilde Q,\tilde P)\mapsto(\tilde Q+\omega t,\tilde P)$ で、帯を横に $\omega t$ だけずらす平行移動になる。(1) で $(q,p)$ 平面の回転だった流れが、変数を取り替えると平行移動になる。面積を保つことは $\tilde Q$ 方向の平行移動では明らかで、正準変換で変数を移しても保たれることが Liouville の定理の中身である。