時刻によって変わる正準変換と新しい Hamiltonian

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第12章 §1.12.5　★★★ 変換が時刻を含むと新しい Hamiltonian は $K=H+\partial F/\partial t$。$K=0$ にする変換を探すことが Hamilton–Jacobi 方程式になる

相空間の作用

定理 1.12.3 は時刻を陽に含まない変換に限っていた。動く座標系への取り替えのように変換そのものが時刻で変わるときは、新しい Hamiltonian $K$ がどうなるかを決め直す必要がある。そのために、第1部第8章の式 (1.8.7) の相空間の作用

$$S[q,p]=\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\sum_ip_i\dot q_i-H(q,p,t)\Bigr)\mathrm{d} t\tag{1.12.17}$$

を使う（$q$ と $p$ を互いに独立な関数とみなす）。第8章で示したとおり、両端で $\delta q$ と $\delta p$ を $0$ にとったときの $S[q,p]$ の停留条件は Hamilton 方程式$\dot q_i=\partial H/\partial p_i$, $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ である。

$K=H+\partial F/\partial t$

いま変換が時刻を含み、各時刻で正準変換になっているとする。式 (1.12.11) は各時刻で成り立つので、母関数も時刻を含む $F_1(q,Q,t)$ になる。時刻を動かした分も含めて全微分をとると、$\mathrm{d} F_1=\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i-\sum_iP_i\,\mathrm{d} Q_i+(\partial F_1/\partial t)\,\mathrm{d} t$。そこで新しい Hamiltonian を

$$K=H+\frac{\partial F_1}{\partial t}\tag{1.12.18}$$

と定めると、

$$\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i-H\,\mathrm{d} t=\sum_iP_i\,\mathrm{d} Q_i-K\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} F_1(q,Q,t)$$

が成り立つ。これを相空間の任意の経路に沿って $\mathrm{d} t$ で割ると、2つの作用の被積分関数は時間の全微分 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}F_1$ だけ違う。

$$\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\sum_ip_i\dot q_i-H\Bigr)\mathrm{d} t=\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\sum_iP_i\dot Q_i-K\Bigr)\mathrm{d} t+F_1\Big|_{t_1}^{t_2}.$$

両端で $(q,p)$ を固定すると、変換が1対1なので両端の $(Q,P)$ も固定され、最後の端の値は経路をずらしても変わらない。したがって2つの作用は同じ経路で停留し、新しい変数 $(Q,P)$ は $K$ の Hamilton 方程式 $\dot Q_i=\partial K/\partial P_i$, $\dot P_i=-\partial K/\partial Q_i$ に従う。

$F_2=F_1+\sum_iQ_iP_i$ などの Legendre 変換は時刻の微分に触れないので、$\partial F_2/\partial t$（$q,P$ を止める）は $\partial F_1/\partial t$（$q,Q$ を止める）と同じ値になり、どの型でも $K=H+\partial F/\partial t$ である。時刻を含まない変換では $\partial F/\partial t=0$ で、$K$ は $H$ を書き直しただけのもの（定理 1.12.3）に戻る。

例：調和振動子を一様な回転に直す

$K=0$ にする変換

正準変換で運動を簡単にするとき、最も簡単な場合は新しい Hamiltonian が $K=0$ になる場合である。$K=0$ なら $\dot Q_i=0$, $\dot P_i=0$ で、新しい変数はすべて定数になる。時刻 $t$ の点 $(q,p)$ を出発点 $(q_0,p_0)$ に戻す変換、つまり流れの逆 $\varphi_t^{-1}$ がちょうどそれである。$K=0$ の条件を式 (1.12.18) で書くと、$F_2(q,P,t)$ について $p_i=\partial F_2/\partial q_i$ を $H$ に入れて

$$H\Bigl(q,\frac{\partial F_2}{\partial q},t\Bigr)+\frac{\partial F_2}{\partial t}=0\tag{1.12.20}$$

になる。これは $F_2$ についての偏微分方程式で、Hamilton–Jacobi 方程式と呼ばれる（第1部第13章）。運動方程式（常微分方程式）を解く問題が、1つの偏微分方程式を解く問題に置き換わる。