母関数：正準変換を1つの関数で書く

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第12章 §1.12.4　★★★ 「面積を保つ」を $p\,\mathrm{d} q-P\,\mathrm{d} Q$ が全微分であることに直すと、正準変換は1つの関数 $F$ で書くことができる。4つの型は互いに Legendre 変換

面積を保つことを線積分で書く

正準変換かどうかを判定するには括弧を計算すればよいが、正準変換を新しく作るには別の書き方が要る。1自由度で考える。$(q,p)$ 平面の閉曲線 $C$ に沿った線積分 $\oint_Cp\,\mathrm{d} q$ は、Green の定理により $C$ が囲む面積に等しい（$C$ を時計回りに回るときは正、反時計回りでは負）。正準変換は面積と向きを保つので、$C$ の像を $C'$ とすると $\oint_Cp\,\mathrm{d} q=\oint_{C'}P\,\mathrm{d} Q$ である。右辺を $C$ の上の積分に書き直すと、どんな閉曲線 $C$ についても

$$\oint_C\bigl(p\,\mathrm{d} q-P\,\mathrm{d} Q\bigr)=0\tag{1.12.10}$$

が成り立つ。ここで $Q$, $P$ は $C$ の上で $(q,p)$ の関数として動く。どの閉曲線に沿っても積分が $0$ になる1次の微分式は、（穴のない領域では）ある関数 $F$ の全微分 $\mathrm{d} F$ に等しい。電磁気で、どの閉曲線に沿っても仕事が $0$ になる力がポテンシャルの勾配で書けるのと同じ理由である。逆に、$p\,\mathrm{d} q-P\,\mathrm{d} Q$ が全微分なら式 (1.12.10) が成り立ち、すべての閉曲線で囲む面積が保たれるので、変換は正準である。

$f$ 自由度でも同じことが成り立つ。$\oint_C\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i$ は、閉曲線 $C$ を各 $(q_i,p_i)$ 平面へ射影した曲線が囲む向きつきの面積の和である。辺のベクトル $u$, $v$ で張る小さな平行四辺形を1周すると、この和は $-u^{\mathsf T}\mathsf Jv$ になる。写像で辺が $Mu$, $Mv$ に移るので、すべての小さな平行四辺形でこの和が保たれる条件は $(Mu)^{\mathsf T}\mathsf J(Mv)=u^{\mathsf T}\mathsf Jv$、すなわち $M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J$ である。大きな閉曲線は、張った面を小さな平行四辺形に分けて足し合わせれば扱える（隣り合う辺の寄与は向きが逆で打ち消し合う）。したがって

$$\text{正準変換}\iff\sum_{i=1}^fp_i\,\mathrm{d} q_i-\sum_{i=1}^fP_i\,\mathrm{d} Q_i=\mathrm{d} F\quad(F\ \text{は相空間の関数})\tag{1.12.11}$$

である。この $F$ を正準変換の母関数と呼ぶ。

4つの型

$F$ は相空間の関数なので、$2f$ 個の変数の組で表せばよい。$q$ と $Q$ が互いに独立に動かせるとき（$f$ 本の式 $Q_i=Q_i(q,p)$ を $p$ について解けるとき）は $(q,Q)$ を変数に選び、$F=F_1(q,Q)$ と書く。$\mathrm{d} F_1=\sum_i(\partial F_1/\partial q_i)\mathrm{d} q_i+\sum_i(\partial F_1/\partial Q_i)\mathrm{d} Q_i$ を式 (1.12.11) と比べて

$$p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i},\qquad P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}.\tag{1.12.12}$$

逆に、どんな関数 $F_1(q,Q)$ を選んでも（$\partial^2F_1/\partial q_i\partial Q_j$ を並べた行列が正則なら）、第1式を $Q$ について解き、第2式で $P$ を決めると正準変換が1つできる。括弧を計算しなくても、関数を1つ選ぶだけで正準変換を作ることができる。これが母関数の使い道である。

ほかの変数の組を使いたいときは、$F_1$ を Legendre 変換する（第1部第7章）。$\mathrm{d}(Q_iP_i)=Q_i\,\mathrm{d} P_i+P_i\,\mathrm{d} Q_i$ を使って $-P_i\,\mathrm{d} Q_i$ を $Q_i\,\mathrm{d} P_i$ に置き換えると、

$$\begin{align*}F_2(q,P)&=F_1+\sum_iQ_iP_i, & p_i&=\frac{\partial F_2}{\partial q_i}, & Q_i&=\frac{\partial F_2}{\partial P_i},\tag{1.12.13}\\F_3(p,Q)&=F_1-\sum_iq_ip_i, & q_i&=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i}, & P_i&=-\frac{\partial F_3}{\partial Q_i},\tag{1.12.14}\\F_4(p,P)&=F_1+\sum_iQ_iP_i-\sum_iq_ip_i, & q_i&=-\frac{\partial F_4}{\partial p_i}, & Q_i&=\frac{\partial F_4}{\partial P_i}.\tag{1.12.15}\end{align*}$$

符号は Goldstein の教科書と同じである。4つの関係を図 1.12.3 にまとめる。第1部第7章の Legendre 変換が $L(\dot q)\leftrightarrow H(p)$ や $U(S)\leftrightarrow F(T)$ で「独立変数を、その共役な量に取り替える」操作だったのと同じで、ここでは母関数の独立変数を $Q\leftrightarrow P$、$q\leftrightarrow p$ と取り替えている。

型が4つ要るのは、変換によって独立に動かせる変数の組が違うからである。恒等変換 $Q=q$, $P=p$ では $q$ と $Q$ が同じものなので $F_1(q,Q)$ は作れないが、$F_2=\sum_iq_iP_i$ とおくと $p_i=P_i$, $Q_i=q_i$ で恒等変換になる。逆に入れ替え $Q=p$, $P=-q$ では $q$ と $P$ が独立でないので $F_2$ は作れないが、$F_1=qQ$ を使うことができる。点変換 $Q_i=Q_i(q)$ は $F_2=\sum_iQ_i(q)P_i$ で書ける（$p_j=\sum_iP_i\,\partial Q_i/\partial q_j$ が出る。点変換の運動量の式の逆である）。

無限小変換の母関数

恒等変換の母関数 $F_2=\sum_iq_iP_i$ を少しだけずらした

$$F_2=\sum_iq_iP_i+\epsilon G(q,P)\tag{1.12.16}$$

を考える。式 (1.12.13) から $p_i=P_i+\epsilon\,\partial G/\partial q_i$, $Q_i=q_i+\epsilon\,\partial G/\partial P_i$。$\epsilon$ の1次までは $\partial G/\partial P_i$ の中の $P$ を $p$ に置き換えてよいので

$$Q_i=q_i+\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_i}+\mathcal{O}(\epsilon^2),\qquad P_i=p_i-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_i}+\mathcal{O}(\epsilon^2)$$

となり、無限小変換 (1.12.8) に戻る。第1部第9章の生成子 $G$ は、恒等変換からのずれを表す母関数の1次の部分である。時間発展なら $G=H$、$\epsilon=\mathrm{d} t$ で、母関数は $F_2=\sum_iq_iP_i+H\,\mathrm{d} t$ になる（有限の時間の流れの母関数は、章末の総合問題で調和振動子について求める）。