この章のまとめ

この章の道具

• 測定が作る通信路 $W(y\,|\,x)=\operatorname{Tr}(\hat E_y\hat\rho_x)$、取り出せる情報 $I_{\mathrm{acc}}=\sup I(X;Y)$。
• $\chi=I(X;B)=D(\hat\rho_{XB}\,\|\,\hat\rho_X\otimes\hat\rho_B)=\sum_xp_xD(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho)=S(\bar\rho)-\sum_xp_xS(\hat\rho_x)$。
• Holevo 限界 $I(X;Y)\le\chi\le S(\bar\rho)\le\ln d$。2純粋状態で $\chi=h_{\mathrm b}((1+c)/2)$、1つずつ測ると $\ln2-h_{\mathrm b}\bigl((1-\sqrt{1-c^2})/2\bigr)$。
• HSW：$C^{(1)}(\mathcal N)=\max\chi(\{p_x,\mathcal N(\hat\rho_x)\})=\min_{\hat\sigma}\max_{\hat\tau}D(\hat\tau\,\|\,\hat\sigma)$。減極 $\ln2-h_{\mathrm b}(p/2)$、消失 $(1-\varepsilon )\ln2$。
• 光の1モード $g(\bar n)=(\bar n+1)\ln(\bar n+1)-\bar n\ln\bar n$、純損失 $g(\eta\bar n)$、広帯域 $C=\sqrt{\pi P/(3\hbar)}$。

総合問題　弱い光の2位相変調で1光子あたりに送れる情報 ★★★

オリジナル光の1モードのコヒーレント状態 $| \alpha \rangle$ と $| -\alpha \rangle$（$\alpha>0$）を確率 $1/2$ ずつで送る（2位相変調）。平均光子数は $\bar n=\alpha^2$ で、2つの状態の重なりは$\lvert \langle \alpha | -\alpha \rangle \rvert =\mathrm{e}^{-2\bar n}$ である。

1. (1) （使う道具：3.7.1節・3.7.2節／第3部第2章 の Holevo 量）Holevo 量 $\chi(\bar n)$ を $\bar n$ の式で書け。
2. (2) （使う道具：3.7.2節／第1部第6章 の2元対称通信路）1パルスずつ対称な射影測定で測るときの誤り確率 $P_{\mathrm{err}}$ と、それを2元対称通信路とみた容量 $C_{\mathrm{1}}(\bar n)$ を書け。
3. (3) （使う道具：3.7.5節）$\chi(\bar n)\le g(\bar n)$ がなぜ成り立つかを述べ、$\bar n=0.01$ で $\chi$、$C_{\mathrm 1}$、$g$ を数値で求めよ。
4. (4) （使う道具：3.7.4節／第1部第2章 の2値エントロピー）$\bar n\to0$ で $\chi\approx\bar n\ln(1/\bar n)+\bar n$、$C_{\mathrm 1}\approx2\bar n$ を示し、$\bar n=0.01$ で光子1個あたりに送れる情報（ビット）を $\chi$ と $C_{\mathrm 1}$ について求めよ。
5. (5) （使う道具：3.7.4節）$\chi$ の速さで送るには受け手はどう測る必要があるか。また (4) の比が $\bar n\to0$ でどうなるかを述べよ。