出てくるもの (3)：光の通信路の容量

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第7章 §3.7.5　★★ 光の1モードで平均光子数 $\bar n$ のとき容量は熱放射のエントロピー $g(\bar n)$。広帯域の極限では古典の $P/ k_{\mathrm B} T$ に代わって $\sqrt{\pi P/(3\hbar)}$ が上限になる

1つのモードと平均光子数の制約

光の通信路の1つのモード（1つの周波数・偏光・時間の枠）は、生成消滅演算子 $\hat a$、$\hat a^\dagger$ を持つ調和振動子である（光子数状態 $| k \rangle$、コヒーレント状態 $| \alpha \rangle$ で書く）。状態の空間は無限次元なので、式 (3.7.10) の $\ln d$ は上限にならない。代わりに送る光のエネルギー、すなわち平均光子数 $\operatorname{Tr}(\bar\rho\,\hat a^\dagger\hat a)\le\bar n$ に制約を置く。

平均光子数を決めたとき von Neumann エントロピーを最大にする状態は、第3部第2章の Gibbs 状態との $D$ の非負性から、熱状態

$$\hat\rho_{\mathrm{th}}(\bar n)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\bar n^k}{(\bar n+1)^{k+1}}| k \rangle \langle k |,\qquad S(\hat\rho_{\mathrm{th}}(\bar n))=g(\bar n)\coloneqq(\bar n+1)\ln(\bar n+1)-\bar n\ln\bar n\tag{3.7.14}$$

である（第2部第1章の最大エントロピー原理を、光子数を量子化した系に当てたものと同じ）。$g(\bar n)$ は Planck 分布の1つのモードのエントロピー（$k_{\mathrm B}$ を除いたもの）である。

証明の骨格

上限：出力のアンサンブルの平均光子数は $\eta\bar n$ 以下なので、$\chi\le S(\bar\tau)\le g(\eta\bar n)$（最後は最大エントロピーと $g$ の単調性）。$n$ 回分をまとめて使う場合も、劣加法性で $S$ を各モードの和で押さえ、$g$ の凹性で平均光子数を均すと $ng(\eta\bar n)$ で押さえられるので、もつれた入力でも容量は上がらない。

達成：損失のあるチャネルはコヒーレント状態 $| \alpha \rangle$ を純粋状態 $| \sqrt\eta\,\alpha \rangle$ に移す（ビームスプリッターの残りの出口へ $| \sqrt{1-\eta}\,\alpha \rangle$ が積で出ていく）。出力は純粋なので $\sum p\,S=0$ で、平均の出力は Gauss の重みのコヒーレント状態の混合、すなわち平均光子数 $\eta\bar n$ の熱状態になる。したがって $\chi=g(\eta\bar n)$。

この結果は Giovannetti らが示した¹1V. Giovannetti, S. Guha, S. Lloyd, L. Maccone, J. H. Shapiro and H. P. Yuen (2004), Physical Review Letters 92, 027902。下の脚注へ閉じる。上限の議論は、量子の側でも「出力のエントロピーは平均光子数で決まる最大値を超えない」という最大エントロピーの1行で済んでいる。

測り方による違い

コヒーレント状態の Gauss アンサンブルを、受け手が古典の検出器で1モードずつ測った場合と比べる。直交位相成分 $\hat x=(\hat a+\hat a^\dagger)/2$ の真空の分散は $1/4$ である。

• ヘテロダイン検波は2つの直交位相成分を同時に測り、結果は $\alpha$ のまわりに各成分の分散 $1/2$ でばらつく（同時に測る代償に真空の分散がもう $1/4$ 加わる）。信号 $\operatorname{Re}\alpha$ の分散は $\eta\bar n/2$ なので、各成分は信号対雑音比 $\eta\bar n$ の Gauss 通信路で、第1部第6章の $C=\frac12\ln(1+P/N)$ を2成分分足して $\ln(1+\eta\bar n)$ を得る。
• ホモダイン検波は1つの成分だけを雑音の分散 $1/4$ で測る。光子をすべてその成分に載せると信号の分散は $\eta\bar n$ で、$\frac12\ln(1+4\eta\bar n)$ を得る。

図 3.7.3 に3つを比べる。光子が多いとき（$\bar n\gg1$）は $g(\bar n)\approx\ln\bar n+1$、ヘテロダインが $\ln\bar n$ で、差は1 nat に留まる。光子が少ないとき（$\bar n\ll1$）は $g(\bar n)\approx\bar n\ln(1/\bar n)+\bar n$ に対してヘテロダインが $\bar n$、ホモダインが $2\bar n$ で、光子1個あたりに送れる情報 $g(\bar n)/\bar n\approx\ln(1/\bar n)$ が古典の検出の値を大きく上回る。光子が乏しい深宇宙通信のような場面で、量子の容量と古典の検出の差が開く。

広帯域の極限

第1部第6章では、熱雑音のある Gauss 通信路の帯域を無限に広げて $C_\infty=P/( k_{\mathrm B} T)$ を得たが、雑音のスペクトル密度を $k_{\mathrm B} T$ と置く古典の近似が高い周波数で崩れると注意した。雑音の無い理想の場合を量子の式で考える。電力 $P$ を一方向に進む1本のビームで送り、時間 $T_{\mathrm{obs}}$ のあいだの周波数ごとのモードを使う。モードは周波数の間隔 $2\pi/T_{\mathrm{obs}}$ で並ぶので、観測時間が長いとき、単位時間あたりの和を積分 $\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}$ に置き換えられる。各モードの平均光子数を $\bar n(\omega)$ とすると

$$\text{送る速さ}=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,g(\bar n(\omega)),\qquad P=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,\hbar\omega\,\bar n(\omega)\tag{3.7.15}$$

で、$P$ を決めて速さを最大にする。Lagrange 乗数 $\lambda$ を入れて $\bar n(\omega)$ で変分すると $g'(\bar n)=\ln(1+1/\bar n)=\lambda\hbar\omega$、すなわち$\bar n(\omega)=1/(\mathrm{e}^{\lambda\hbar\omega}-1)$ で、最適な信号は温度 $k_{\mathrm B} T_{\mathrm{eff}}=1/\lambda$ の1次元の黒体放射の形をしている。積分 $\int_0^\infty\frac{u\,\mathrm{d} u}{\mathrm{e}^u-1}=\frac{\pi^2}6$ と$\int_0^\infty g\bigl(\frac1{\mathrm{e}^u-1}\bigr)\mathrm{d} u=\frac{\pi^2}3$ を使うと $P=\pi( k_{\mathrm B} T_{\mathrm{eff}})^2/(12\hbar)$、速さ $=\pi k_{\mathrm B} T_{\mathrm{eff}}/(6\hbar)$ で、$T_{\mathrm{eff}}$ を消して

$$C=\sqrt{\frac{\pi P}{3\hbar}}\quad(\text{nat 毎秒})\tag{3.7.16}$$

を得る²2H. P. Yuen and M. Ozawa (1993), Physical Review Letters 70, 363–366；C. M. Caves and P. D. Drummond (1994), Reviews of Modern Physics 66, 481–537。下の脚注へ閉じる。古典の雑音の無い Gauss 通信路は帯域を広げると容量がいくらでも大きくなるが、量子の通信路では電力 $P$ を決めると帯域を無限に広げても容量は有限で、$\sqrt P$ に比例する。高い周波数のモードでは光子1個のエネルギー $\hbar\omega$ が大きく、決まった電力で使える光子の数が減るからである。

1　V. Giovannetti, S. Guha, S. Lloyd, L. Maccone, J. H. Shapiro and H. P. Yuen (2004), Physical Review Letters 92, 027902。

2　H. P. Yuen and M. Ozawa (1993), Physical Review Letters 70, 363–366；C. M. Caves and P. D. Drummond (1994), Reviews of Modern Physics 66, 481–537。