相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第7章 §3.7.4 ★★★ 雑音のある量子チャネル N \mathcal N N D D D
積の入力とまとめた測定
送り手が状態 ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x N \mathcal N N N ( ρ ^ x ) \mathcal N(\hat\rho_x) N ( ρ ^ x ) n n n v ∈ { 1 , … , M } v\in\{1,\dots,M\} v ∈ { 1 , … , M } x n ( v ) x^n(v) x n ( v ) ρ ^ x 1 ( v ) ⊗ ⋯ ⊗ ρ ^ x n ( v ) \hat\rho_{x_1(v)}\otimes\cdots\otimes\hat\rho_{x_n(v)} ρ ^ x 1 ( v ) ⊗ ⋯ ⊗ ρ ^ x n ( v ) n n n まとめて 1つの POVM { E ^ v ^ } \{\hat E_{\hat v}\} { E ^ v ^ } R = ( ln M ) / n R=(\ln M)/n R = ( ln M ) / n 0 0 0 R R R
定理 3.7.4（Holevo–Schumacher–Westmoreland の定理 ★★★）
量子チャネル N \mathcal N N
C ( 1 ) ( N ) = max { p x , ρ ^ x } χ ( { p x , N ( ρ ^ x ) } ) (3.7.11) C^{(1)}(\mathcal N)=\max_{\{p_x,\hat\rho_x\}}\chi\bigl(\{p_x,\mathcal N(\hat\rho_x)\}\bigr)\tag{3.7.11} C ( 1 ) ( N ) = { p x , ρ ^ x } max χ ( { p x , N ( ρ ^ x )} ) ( 3.7.11 )
である。入力の状態の間のもつれも許した容量 C ( N ) C(\mathcal N) C ( N ) n n n C ( N ) = lim n → ∞ 1 n C ( 1 ) ( N ⊗ n ) C(\mathcal N)=\lim_{n\to\infty}\frac1nC^{(1)}(\mathcal N^{\otimes n}) C ( N ) = lim n → ∞ n 1 C ( 1 ) ( N ⊗ n )
達成できること（R < C ( 1 ) R<C^{(1)} R < C ( 1 ) 0 0 0 1 1 A. S. Holevo (1998), IEEE Transactions on Information Theory 44 , 269–273；B. Schumacher and M. D. Westmoreland (1997), Physical Review A 56 , 131–138。n n n τ ˉ ⊗ n \bar\tau^{\otimes n} τ ˉ ⊗ n τ ˉ = ∑ x p x N ( ρ ^ x ) \bar\tau=\sum_xp_x\mathcal N(\hat\rho_x) τ ˉ = ∑ x p x N ( ρ ^ x ) e n S ( τ ˉ ) \mathrm{e}^{nS(\bar\tau)} e n S ( τ ˉ ) e n ∑ x p x S ( N ( ρ ^ x ) ) \mathrm{e}^{n\sum_xp_xS(\mathcal N(\hat\rho_x))} e n ∑ x p x S ( N ( ρ ^ x )) e n χ \mathrm{e}^{n\chi} e n χ e n R \mathrm{e}^{nR} e n R R < χ R<\chi R < χ n n n
逆の向き（R > C ( 1 ) R>C^{(1)} R > C ( 1 ) 0 0 0 χ ( { 符号語の確率 , 出力の積状態 } ) \chi(\{\text{符号語の確率},\ \text{出力の積状態}\}) χ ({ 符号語の確率 , 出力の積状態 }) ≤ n C ( 1 ) \le nC^{(1)} ≤ n C ( 1 )
図 3.7.1 の2つの曲線の差は、まとめて測ることの価値を表している。1つずつ測ると各回が2元対称通信路になり、第1部第6章の符号化を後から当てても速さ ln 2 − h b ( P e r r ) \ln2-h_{\mathrm b}(P_{\mathrm{err}}) ln 2 − h b ( P err ) n n n χ \chi χ
C ( 1 ) C^{(1)} C ( 1 ) C C C 2 2 M. B. Hastings (2009), Nature Physics 5 , 255–257。C ( 1 ) = C C^{(1)}=C C ( 1 ) = C
容量は D D D
第3部第2章の恒等式（任意の σ ^ \hat\sigma σ ^ ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) = χ ( { p x , τ ^ x } ) + D ( τ ˉ ∥ σ ^ ) \sum_xp_xD(\hat\tau_x\,\|\,\hat\sigma)=\chi(\{p_x,\hat\tau_x\})+D(\bar\tau\,\|\,\hat\sigma) ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) = χ ({ p x , τ ^ x }) + D ( τ ˉ ∥ σ ^ ) D D D
定理 3.7.5（容量の minimax 表示 ★★★）
出力の状態 τ ^ = N ( ρ ^ ) \hat\tau=\mathcal N(\hat\rho) τ ^ = N ( ρ ^ ) T \mathcal T T
χ ( { p x , τ ^ x } ) = min σ ^ ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) (3.7.12) \chi(\{p_x,\hat\tau_x\})=\min_{\hat\sigma}\sum_xp_xD(\hat\tau_x\,\|\,\hat\sigma)\tag{3.7.12} χ ({ p x , τ ^ x }) = σ ^ min x ∑ p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) ( 3.7.12 )
で、最小は σ ^ = τ ˉ \hat\sigma=\bar\tau σ ^ = τ ˉ σ ^ \hat\sigma σ ^
C ( 1 ) ( N ) ≤ max τ ^ ∈ T D ( τ ^ ∥ σ ^ ) (3.7.13) C^{(1)}(\mathcal N)\ \le\ \max_{\hat\tau\in\mathcal T}D(\hat\tau\,\|\,\hat\sigma)\tag{3.7.13} C ( 1 ) ( N ) ≤ τ ^ ∈ T max D ( τ ^ ∥ σ ^ ) ( 3.7.13 )
が成り立ち、右辺を σ ^ \hat\sigma σ ^ C ( 1 ) ( N ) C^{(1)}(\mathcal N) C ( 1 ) ( N )
証明 恒等式の D ( τ ˉ ∥ σ ^ ) ≥ 0 D(\bar\tau\,\|\,\hat\sigma)\ge0 D ( τ ˉ ∥ σ ^ ) ≥ 0 ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) ≥ χ \sum_xp_xD(\hat\tau_x\,\|\,\hat\sigma)\ge\chi ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) ≥ χ σ ^ = τ ˉ \hat\sigma=\bar\tau σ ^ = τ ˉ (3.7.12) 。任意の σ ^ \hat\sigma σ ^ χ ≤ ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) ≤ max τ ^ ∈ T D ( τ ^ ∥ σ ^ ) \chi\le\sum_xp_xD(\hat\tau_x\,\|\,\hat\sigma)\le\max_{\hat\tau\in\mathcal T}D(\hat\tau\,\|\,\hat\sigma) χ ≤ ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) ≤ max τ ^ ∈ T D ( τ ^ ∥ σ ^ ) (3.7.13) を得る。最後の等号は、∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) \sum_xp_xD(\hat\tau_x\,\|\,\hat\sigma) ∑ x p x D ( τ ^ x ∥ σ ^ ) T \mathcal T T σ ^ \hat\sigma σ ^ D D D 3 3 この形は B. Schumacher and M. D. Westmoreland (2001), Physical Review A 63 , 022308 に示されている。
出力の状態の集合 T \mathcal T T σ ^ \hat\sigma σ ^ τ ˉ \bar\tau τ ˉ (3.7.13) は、中心を1つ当て推量で選ぶだけで容量の上限が得られることを言っている。
例題 3.7.4 減極チャネルの容量 ★★★
オリジナル 量子ビットの減極チャネル N p ( ρ ^ ) = ( 1 − p ) ρ ^ + p 1 / 2 \mathcal N_p(\hat\rho)=(1-p)\hat\rho+p\,\mathbf 1/2 N p ( ρ ^ ) = ( 1 − p ) ρ ^ + p 1 /2 0 ≤ p ≤ 1 0\le p\le1 0 ≤ p ≤ 1
純粋状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ N p ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) \mathcal N_p(| \psi \rangle \langle \psi |) N p ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) D ( N p ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) ∥ 1 / 2 ) D(\mathcal N_p(| \psi \rangle \langle \psi |)\,\|\,\mathbf 1/2) D ( N p ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) ∥ 1 /2 )
定理 3.7.5 で σ ^ = 1 / 2 \hat\sigma=\mathbf 1/2 σ ^ = 1 /2 C ( 1 ) ( N p ) ≤ ln 2 − h b ( p / 2 ) C^{(1)}(\mathcal N_p)\le\ln2-h_{\mathrm b}(p/2) C ( 1 ) ( N p ) ≤ ln 2 − h b ( p /2 )
アンサンブル { 1 2 , ∣ 0 ⟩ ; 1 2 , ∣ 1 ⟩ } \{\frac12,| 0 \rangle ;\ \frac12,| 1 \rangle \} { 2 1 , ∣0 ⟩ ; 2 1 , ∣1 ⟩} p = 0.2 p=0.2 p = 0.2 p = 0.5 p=0.5 p = 0.5
解答 (1) ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = 1 2 ( 1 + n ⋅ σ ) | \psi \rangle \langle \psi |=\frac12(\mathbf 1+\bm{n}\cdot\bm{\sigma}) ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = 2 1 ( 1 + n ⋅ σ ) ∣ n ∣ = 1 \lvert \bm{n}\rvert =1 ∣ n ∣ = 1 N p ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) = 1 2 ( 1 + ( 1 − p ) n ⋅ σ ) \mathcal N_p(| \psi \rangle \langle \psi |)=\frac12(\mathbf 1+(1-p)\bm{n}\cdot\bm{\sigma}) N p ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) = 2 1 ( 1 + ( 1 − p ) n ⋅ σ ) 1 − p / 2 1-p/2 1 − p /2 p / 2 p/2 p /2 D ( τ ^ ∥ 1 / 2 ) = ln 2 − S ( τ ^ ) = ln 2 − h b ( p / 2 ) D(\hat\tau\,\|\,\mathbf 1/2)=\ln2-S(\hat\tau)=\ln2-h_{\mathrm b}(p/2) D ( τ ^ ∥ 1 /2 ) = ln 2 − S ( τ ^ ) = ln 2 − h b ( p /2 ) ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩
(2) 混合状態 ρ ^ = ∑ k r k ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ \hat\rho=\sum_kr_k| \psi_k \rangle \langle \psi_k | ρ ^ = ∑ k r k ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ D D D D ( N p ( ρ ^ ) ∥ 1 / 2 ) ≤ ∑ k r k D ( N p ( ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ ) ∥ 1 / 2 ) = ln 2 − h b ( p / 2 ) D(\mathcal N_p(\hat\rho)\,\|\,\mathbf 1/2)\le\sum_kr_kD(\mathcal N_p(| \psi_k \rangle \langle \psi_k |)\,\|\,\mathbf 1/2)=\ln2-h_{\mathrm b}(p/2) D ( N p ( ρ ^ ) ∥ 1 /2 ) ≤ ∑ k r k D ( N p ( ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ ) ∥ 1 /2 ) = ln 2 − h b ( p /2 ) max τ ^ ∈ T D ( τ ^ ∥ 1 / 2 ) = ln 2 − h b ( p / 2 ) \max_{\hat\tau\in\mathcal T}D(\hat\tau\,\|\,\mathbf 1/2)=\ln2-h_{\mathrm b}(p/2) max τ ^ ∈ T D ( τ ^ ∥ 1 /2 ) = ln 2 − h b ( p /2 ) (3.7.13) から上限を得る。
(3) N p ( ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ) \mathcal N_p(| 0 \rangle \langle 0 |) N p ( ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ) N p ( ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ) \mathcal N_p(| 1 \rangle \langle 1 |) N p ( ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ) 1 / 2 \mathbf 1/2 1 /2 χ = ln 2 − h b ( p / 2 ) \chi=\ln2-h_{\mathrm b}(p/2) χ = ln 2 − h b ( p /2 ) p = 0.2 p=0.2 p = 0.2 ln 2 − h b ( 0.1 ) = 0.3681 \ln2-h_{\mathrm b}(0.1)=0.3681 ln 2 − h b ( 0.1 ) = 0.3681 0.531 0.531 0.531 p = 0.5 p=0.5 p = 0.5 ln 2 − h b ( 0.25 ) = 0.1308 \ln2-h_{\mathrm b}(0.25)=0.1308 ln 2 − h b ( 0.25 ) = 0.1308 0.189 0.189 0.189 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ | 0 \rangle ,| 1 \rangle ∣0 ⟩ , ∣1 ⟩ I ( X ; Y ) = χ I(X;Y)=\chi I ( X ; Y ) = χ p / 2 p/2 p /2 C = C ( 1 ) C=C^{(1)} C = C ( 1 ) 4 4 C. King (2003), IEEE Transactions on Information Theory 49 , 221–229。
量子の情報を送る容量と、もつれを借りる容量
量子チャネルには、何を送るかによって容量が3つある。古典のビットを送る容量 C ( N ) C(\mathcal N) C ( N ) 量子容量 Q ( N ) Q(\mathcal N) Q ( N ) もつれ援用古典容量 C E ( N ) C_{\mathrm E}(\mathcal N) C E ( N ) C E ( N ) = max ρ ^ I ( A ; B ) C_{\mathrm E}(\mathcal N)=\max_{\hat\rho}I(A;B) C E ( N ) = max ρ ^ I ( A ; B ) A A A B B B 5 5 C. H. Bennett, P. W. Shor, J. A. Smolin and A. V. Thapliyal (2002), IEEE Transactions on Information Theory 48 , 2637–2655。− S ( A ∣ B ) -S(A\,|\,B) − S ( A ∣ B ) n n n n n n
例題 3.7.5 消失チャネルの3つの容量 ★★
オリジナル 量子ビットの消失チャネル N ε ( ρ ^ ) = ( 1 − ε ) ρ ^ ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ \mathcal N_{\varepsilon }(\hat\rho)=(1-\varepsilon )\,\hat\rho\oplus\varepsilon | \mathrm e \rangle \langle \mathrm e | N ε ( ρ ^ ) = ( 1 − ε ) ρ ^ ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ ε \varepsilon ε ∣ e ⟩ | \mathrm e \rangle ∣ e ⟩
σ ^ = ( 1 − ε ) 1 / 2 ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ \hat\sigma=(1-\varepsilon )\mathbf 1/2\oplus\varepsilon | \mathrm e \rangle \langle \mathrm e | σ ^ = ( 1 − ε ) 1 /2 ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ C ( 1 ) ( N ε ) = ( 1 − ε ) ln 2 C^{(1)}(\mathcal N_{\varepsilon })=(1-\varepsilon )\ln2 C ( 1 ) ( N ε ) = ( 1 − ε ) ln 2 入力の量子ビットを参照系 A A A ∣ Φ + ⟩ A Q | \Phi^+ \rangle _{AQ} ∣ Φ + ⟩ A Q Q Q Q E E E S ( B ) = h b ( ε ) + ( 1 − ε ) ln 2 S(B)=h_{\mathrm b}(\varepsilon )+(1-\varepsilon )\ln2 S ( B ) = h b ( ε ) + ( 1 − ε ) ln 2 S ( A B ) = S ( E ) = h b ( ε ) + ε ln 2 S(AB)=S(E)=h_{\mathrm b}(\varepsilon )+\varepsilon \ln2 S ( A B ) = S ( E ) = h b ( ε ) + ε ln 2 I ( A ; B ) I(A;B) I ( A ; B ) − S ( A ∣ B ) -S(A\,|\,B) − S ( A ∣ B )
ε = 0.25 \varepsilon =0.25 ε = 0.25 C C C C E = 2 ( 1 − ε ) ln 2 C_{\mathrm E}=2(1-\varepsilon )\ln2 C E = 2 ( 1 − ε ) ln 2 Q = max { 0 , ( 1 − 2 ε ) } ln 2 Q=\max\{0,(1-2\varepsilon )\}\ln2 Q = max { 0 , ( 1 − 2 ε )} ln 2
解答 (1) 純粋状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ( 1 − ε ) ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ (1-\varepsilon )| \psi \rangle \langle \psi |\oplus\varepsilon | \mathrm e \rangle \langle \mathrm e | ( 1 − ε ) ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ ln \ln ln D = ( 1 − ε ) ln 1 − ε ( 1 − ε ) / 2 + ε ln ε ε = ( 1 − ε ) ln 2 D=(1-\varepsilon )\ln\frac{1-\varepsilon }{(1-\varepsilon )/2}+\varepsilon \ln\frac{\varepsilon }{\varepsilon }=(1-\varepsilon )\ln2 D = ( 1 − ε ) ln ( 1 − ε ) /2 1 − ε + ε ln ε ε = ( 1 − ε ) ln 2 ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ | \psi \rangle \langle \psi | ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ 1 / 2 \mathbf 1/2 1 /2 D = ln 2 D=\ln2 D = ln 2 1 − ε 1-\varepsilon 1 − ε (3.7.13) から C ( 1 ) ≤ ( 1 − ε ) ln 2 C^{(1)}\le(1-\varepsilon )\ln2 C ( 1 ) ≤ ( 1 − ε ) ln 2 { 1 2 , ∣ 0 ⟩ ; 1 2 , ∣ 1 ⟩ } \{\frac12,| 0 \rangle ;\ \frac12,| 1 \rangle \} { 2 1 , ∣0 ⟩ ; 2 1 , ∣1 ⟩} σ ^ \hat\sigma σ ^ χ = S ( σ ^ ) − h b ( ε ) = ( 1 − ε ) ln 2 \chi=S(\hat\sigma)-h_{\mathrm b}(\varepsilon )=(1-\varepsilon )\ln2 χ = S ( σ ^ ) − h b ( ε ) = ( 1 − ε ) ln 2
(2) 失わなかったとき（確率 1 − ε 1-\varepsilon 1 − ε A B AB A B ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ E E E A A A 1 / 2 \mathbf 1/2 1 /2 B B B ∣ e ⟩ | \mathrm e \rangle ∣ e ⟩ E E E B B B ( 1 − ε ) 1 / 2 ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ (1-\varepsilon )\mathbf 1/2\oplus\varepsilon | \mathrm e \rangle \langle \mathrm e | ( 1 − ε ) 1 /2 ⊕ ε ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ S ( B ) = h b ( ε ) + ( 1 − ε ) ln 2 S(B)=h_{\mathrm b}(\varepsilon )+(1-\varepsilon )\ln2 S ( B ) = h b ( ε ) + ( 1 − ε ) ln 2 E E E ε 1 / 2 ⊕ ( 1 − ε ) ∣ 0 E ⟩ ⟨ 0 E ∣ \varepsilon \,\mathbf 1/2\oplus(1-\varepsilon )| 0_E \rangle \langle 0_E | ε 1 /2 ⊕ ( 1 − ε ) ∣ 0 E ⟩ ⟨ 0 E ∣ S ( E ) = h b ( ε ) + ε ln 2 S(E)=h_{\mathrm b}(\varepsilon )+\varepsilon \ln2 S ( E ) = h b ( ε ) + ε ln 2 S ( A B ) = S ( E ) S(AB)=S(E) S ( A B ) = S ( E ) S ( A ) = ln 2 S(A)=\ln2 S ( A ) = ln 2 I ( A ; B ) = ln 2 + h b ( ε ) + ( 1 − ε ) ln 2 − h b ( ε ) − ε ln 2 = 2 ( 1 − ε ) ln 2 I(A;B)=\ln2+h_{\mathrm b}(\varepsilon )+(1-\varepsilon )\ln2-h_{\mathrm b}(\varepsilon )-\varepsilon \ln2=2(1-\varepsilon )\ln2 I ( A ; B ) = ln 2 + h b ( ε ) + ( 1 − ε ) ln 2 − h b ( ε ) − ε ln 2 = 2 ( 1 − ε ) ln 2 − S ( A ∣ B ) = S ( B ) − S ( A B ) = ( 1 − 2 ε ) ln 2 -S(A\,|\,B)=S(B)-S(AB)=(1-2\varepsilon )\ln2 − S ( A ∣ B ) = S ( B ) − S ( A B ) = ( 1 − 2 ε ) ln 2
(3) ε = 0.25 \varepsilon =0.25 ε = 0.25 C = 0.75 ln 2 = 0.5199 C=0.75\ln2=0.5199 C = 0.75 ln 2 = 0.5199 C E = 1.5 ln 2 = 1.0397 C_{\mathrm E}=1.5\ln2=1.0397 C E = 1.5 ln 2 = 1.0397 Q = 0.5 ln 2 = 0.3466 Q=0.5\ln2=0.3466 Q = 0.5 ln 2 = 0.3466 0.75 0.75 0.75 1.5 1.5 1.5 0.5 0.5 0.5 max { 0 , 1 − 2 ε } ln 2 \max\{0,1-2\varepsilon \}\ln2 max { 0 , 1 − 2 ε } ln 2 6 6 C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo and J. A. Smolin (1997), Physical Review Letters 78 , 3217–3220。ε ≥ 1 / 2 \varepsilon \ge1/2 ε ≥ 1/2 Q = 0 Q=0 Q = 0
1 A. S. Holevo (1998), IEEE Transactions on Information Theory 44 , 269–273；B. Schumacher and M. D. Westmoreland (1997), Physical Review A 56 , 131–138。
2 M. B. Hastings (2009), Nature Physics 5 , 255–257。
3 この形は B. Schumacher and M. D. Westmoreland (2001), Physical Review A 63 , 022308 に示されている。
4 C. King (2003), IEEE Transactions on Information Theory 49 , 221–229。
5 C. H. Bennett, P. W. Shor, J. A. Smolin and A. V. Thapliyal (2002), IEEE Transactions on Information Theory 48 , 2637–2655。
6 C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo and J. A. Smolin (1997), Physical Review Letters 78 , 3217–3220。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
