授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第14章 §14.6　★★ 学部の電磁気学の Fresnel の式（$n\cos\theta$ の形と角度の形）は、この章の $k_z$ の形を透明な媒質に限って書き直したもので、インピーダンスの不整合の式とも同じものである

学部の電磁気学や光学の授業では、Fresnel の式を屈折率と角度で

$$r_{\mathrm s}=\frac{n_1\cos\theta_1-n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2},\qquad r_{\mathrm p}=\frac{n_2\cos\theta_1-n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}\tag{14.17}$$

と書くことが多い。透明な媒質では $k_{jz}=n_jk_0\cos\theta_j$, $\varepsilon_{\mathrm rj}=n_j^2$ なので、式 (14.4), (14.5) の分子と分母を $k_0$（p では $n_1n_2k_0$）で割ればこの形になる。Snell の法則で $n_1/n_2=\sin\theta_2/\sin\theta_1$ と書き換えると、角度だけで書いた形

$$r_{\mathrm s}=-\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\sin(\theta_1+\theta_2)},\qquad r_{\mathrm p}=\frac{\tan(\theta_1-\theta_2)}{\tan(\theta_1+\theta_2)}\tag{14.18}$$

になる。$r_{\mathrm p}$ の分母 $\tan(\theta_1+\theta_2)$ が $\theta_1+\theta_2=\pi/2$ で無限大になることが Brewster 角である。

透過係数は、授業では電場の比で $t_{\mathrm p}^{(E)}=2n_1\cos\theta_1/(n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2)$ と書くことが多い。各媒質で電場と磁場の比は $\lvert \bm{E}\rvert /\lvert \bm{H}\rvert =1/(n\varepsilon_0c)$ なので、この章の磁場の比 $t_{\mathrm p}$ とは $t_{\mathrm p}^{(E)}=(n_1/n_2)t_{\mathrm p}$ の関係にある。透過率は授業では $T=(n_2\cos\theta_2/(n_1\cos\theta_1))\lvert t^{(E)}\rvert ^2$ と書き、これは式 (14.6) と同じ値になる。$r_{\mathrm p}$ の符号は、授業によっては式 (14.17) と逆にとる（反射波の電場の向きの約束が違う）。その流儀では垂直入射で $r_{\mathrm p}=r_{\mathrm s}$ になり、Brewster 角を境に $r_{\mathrm p}$ の符号が変わる点は同じである。

もう1つの書き方は、伝送線路のインピーダンスの不整合の式である。s 偏光では $Z=\omega\mu_0/k_z$（$E_y$ と $H_x$ の比）、p 偏光では $Z=k_z/(\omega\varepsilon)$（$E_x$ と $H_y$ の比）を各媒質の波のインピーダンスとすると、

$$r_{\mathrm s}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad r_{\mathrm p}=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\tag{14.19}$$

となる（p の符号が逆なのは、この本の $r_{\mathrm p}$ が電流に当たる磁場の比だからである）。境界での反射は、インピーダンスの違う2本の線路のつなぎ目での反射と同じ式で、反射防止膜は線路の整合器（1/4 波長の変成器）と同じ設計になる。Stokes の関係 $r_{21}=-r_{12}$, $t_{12}t_{21}=1-r_{12}^2$ も、式 (14.4), (14.5) で添字を入れ替えるだけで確かめられ、第9章の Fabry–Perot の計算で使った（第9章）。