出てくるもの（1）：Fresnel の係数と Brewster 角

光学と量子エレクトロニクス　第14章 §14.2　★★★ s は電場、p は磁場の振幅の比で書くと、反射係数は $k_z$ と $\varepsilon$ だけの形になる。p の反射の零点が Brewster 角で、反射の向きが媒質2の双極子の軸と重なる角である

s 偏光

s 偏光では、入射・反射・透過の電場を $E_y=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{1z}z}+r_{\mathrm s}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_{1z}z}$（$z<0$）、$E_y=t_{\mathrm s}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{2z}z}$（$z>0$）と書く（入射の振幅を $1$ にとり、共通の因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_xx-\omega t)}$ を省いた）。磁場の接線成分は Faraday の法則 $\nabla\times\bm{E}=\mathrm{i}\omega\mu_0\bm{H}$ の $x$ 成分から $H_x=-\partial_zE_y/(\mathrm{i}\omega\mu_0)$ で、平面波 $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} k_zz}$ では $H_x=\mp k_zE_y/(\omega\mu_0)$ になる。$E_y$ と $H_x$ の連続から

$$1+r_{\mathrm s}=t_{\mathrm s},\qquad k_{1z}(1-r_{\mathrm s})=k_{2z}t_{\mathrm s}$$

を得て、これを解くと

$$r_{\mathrm s}=\frac{k_{1z}-k_{2z}}{k_{1z}+k_{2z}},\qquad t_{\mathrm s}=\frac{2k_{1z}}{k_{1z}+k_{2z}}\tag{14.4}$$

となる。

p 偏光

p 偏光では磁場を $H_y=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{1z}z}+r_{\mathrm p}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_{1z}z}$（$z<0$）、$H_y=t_{\mathrm p}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{2z}z}$（$z>0$）と書く。電場の接線成分は Ampère–Maxwell の法則 $\nabla\times\bm{H}=-\mathrm{i}\omega\varepsilon\bm{E}$ の $x$ 成分から $E_x=\partial_zH_y/(\mathrm{i}\omega\varepsilon)$ で、$\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} k_zz}$ では $E_x=\pm k_zH_y/(\omega\varepsilon)$ になる。$H_y$ と $E_x$ の連続から

$$1+r_{\mathrm p}=t_{\mathrm p},\qquad \frac{k_{1z}}{\varepsilon_1}(1-r_{\mathrm p})=\frac{k_{2z}}{\varepsilon_2}t_{\mathrm p}$$

で、

$$r_{\mathrm p}=\frac{\varepsilon_2k_{1z}-\varepsilon_1k_{2z}}{\varepsilon_2k_{1z}+\varepsilon_1k_{2z}},\qquad t_{\mathrm p}=\frac{2\varepsilon_2k_{1z}}{\varepsilon_2k_{1z}+\varepsilon_1k_{2z}}\tag{14.5}$$

を得る。$\varepsilon_j$ は比でしか入らないので、$\varepsilon_{\mathrm rj}$ に置き換えてよい。

式 (14.4) と (14.5) を Fresnel の係数と呼ぶ。2つの式は、s 偏光の $k_z$ を p 偏光では $k_z/\varepsilon$ に置き換えた形をしている。s 偏光で $E_y$ と組になる量が $k_zE_y$（磁場）、p 偏光で $H_y$ と組になる量が $k_zH_y/\varepsilon$（電場）だからである。

エネルギーの流れ

反射率と透過率は、境界に垂直なエネルギーの流れ（Poynting ベクトルの $z$ 成分の時間平均）の比で定義する。時間平均は $\langle S_z \rangle =\frac12\operatorname{Re}(\bm{E}\times\bm{H}^*)_z$ で、s 偏光では $\langle S_z \rangle =\operatorname{Re}(k_z)\lvert E_y\rvert ^2/(2\omega\mu_0)$、p 偏光では $\langle S_z \rangle =\operatorname{Re}(k_z/\varepsilon)\lvert H_y\rvert ^2/(2\omega)$ になる。媒質1が透明なとき、

$$R_{\mathrm s}=\lvert r_{\mathrm s}\rvert ^2,\quad T_{\mathrm s}=\frac{\operatorname{Re} k_{2z}}{k_{1z}}\lvert t_{\mathrm s}\rvert ^2,\qquad R_{\mathrm p}=\lvert r_{\mathrm p}\rvert ^2,\quad T_{\mathrm p}=\frac{\operatorname{Re}(k_{2z}/\varepsilon_2)}{k_{1z}/\varepsilon_1}\lvert t_{\mathrm p}\rvert ^2\tag{14.6}$$

で、どちらの偏光でも $R+T=1$ が成り立つ（媒質2が吸収するときは、$T$ が境界を通って媒質2へ入り、そこで吸収されるエネルギーの割合になる）。$T$ の前の因子は、2つの媒質で波の進む向きと電場と磁場の比が違うことを表す。$\lvert t\rvert ^2$ だけでは透過率にならない。

Brewster 角

$r_{\mathrm p}=0$ となるのは $\varepsilon_2k_{1z}=\varepsilon_1k_{2z}$ のときである。2つの媒質が透明なら、これは $n_2^2n_1\cos\theta_1=n_1^2n_2\cos\theta_2$、つまり $n_2\cos\theta_1=n_1\cos\theta_2$ である。Snell の法則 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ と掛け合わせると $\sin\theta_1\cos\theta_1=\sin\theta_2\cos\theta_2$、すなわち $\sin2\theta_1=\sin2\theta_2$ で、$n_1\ne n_2$ なら

$$\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{2},\qquad \tan\theta_{\mathrm B}=\frac{n_2}{n_1}\tag{14.7}$$

を得る（2つ目は1つ目を Snell の法則に入れたもの）。この入射角 $\theta_{\mathrm B}$ を Brewster 角と呼ぶ。s 偏光では $k_{1z}=k_{2z}$ が $n_1=n_2$ を要求するので、磁化しない媒質に s 偏光の Brewster 角は無い。

Brewster 角は双極子の放射の向き

式 (14.7) の条件 $\theta_1+\theta_2=\pi/2$ は、反射光と屈折光の向きが直交するということである。これを媒質の双極子の言葉で読む。第11章（第11章）のモデルでは、媒質2は Lorentz 振動子の集まりで、透過波の電場 $\bm{E}$ がそれぞれの振動子を揺らし、分極 $\bm{P}=\varepsilon_0(\varepsilon_{\mathrm r2}-1)\bm{E}$ が光の周波数で振動する。反射波は、媒質1が真空なら、この振動する双極子が出した光を足し合わせたものである（Ewald と Oseen の消光定理：媒質の中で入射波を打ち消し透過波を作る双極子の放射が、外へ向かっては反射波になる）。

p 偏光の透過波の電場は入射面の中で透過の向き $(\sin\theta_2,0,\cos\theta_2)$ に垂直なので、双極子の向きは $(\cos\theta_2,0,-\sin\theta_2)$ である。反射波の向きは $(\sin\theta_1,0,-\cos\theta_1)$ で、2つの単位ベクトルの内積は

$$\cos\theta_2\sin\theta_1+\sin\theta_2\cos\theta_1=\sin(\theta_1+\theta_2)$$

になる。振動する双極子は自分の軸の向きへは光を出さない（放射の強度は軸からの角を $\vartheta$ として $\sin^2\vartheta$ に比例する）。$\theta_1+\theta_2=\pi/2$ では内積が $1$ で、反射の向きがちょうど双極子の軸に重なるので、反射波の p の成分が消える。s 偏光では双極子は $y$ を向き、入射面の中のどの向きに対しても軸と直交するので、反射が消える角は無い。Brewster 角が s と p で非対称になる理由は、こうして双極子の放射の向きの性質に帰着する。