出てくるもの（2）：全反射とエバネッセント波

光学と量子エレクトロニクス　第14章 §14.3　★★★ $k_x$ が媒質2の波数より大きいと $k_{2z}$ が純虚数になり、反射係数の絶対値が $1$ になる。媒質2には境界から指数関数で減衰する波が残り、エネルギーを境界に沿って運ぶ

$k_{2z}$ が純虚数になる

媒質1の屈折率が大きい（$n_1>n_2$、どちらも透明）とする。入射角を大きくして $k_x=n_1k_0\sin\theta_1$ が $n_2k_0$ を超えると、式 (14.1) の根号の中が負になり、

$$k_{2z}=\mathrm{i}\kappa,\qquad \kappa=k_0\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1-n_2^2}>0\tag{14.8}$$

となる。境目の角 $\sin\theta_{\mathrm c}=n_2/n_1$ を臨界角と呼ぶ。媒質2の中の場は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_xx-\kappa z}$ で、境界に沿って進み、境界から離れると指数関数で減衰する。これをエバネッセント波と呼ぶ。Snell の法則で言えば $\sin\theta_2=(n_1/n_2)\sin\theta_1>1$ となる実数の屈折角が無い場合だが、Fresnel の係数は $k_{2z}$ を複素数に延ばしてもそのまま使える。境界条件から係数を出す計算は、$k_{2z}$ が実数であることを一度も使っていないからである。

$k_{2z}=\mathrm{i}\kappa$ を式 (14.4), (14.5) に入れると、分子と分母が互いに複素共役になる：

$$r_{\mathrm s}=\frac{k_{1z}-\mathrm{i}\kappa}{k_{1z}+\mathrm{i}\kappa}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_{\mathrm s}},\quad \phi_{\mathrm s}=-2\arctan\frac{\kappa}{k_{1z}},\qquad r_{\mathrm p}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_{\mathrm p}},\quad \phi_{\mathrm p}=-2\arctan\frac{n_1^2\kappa}{n_2^2k_{1z}}.\tag{14.9}$$

反射率は両方の偏光で $1$ になる。これが全反射である。反射は完全だが、反射光は s と p で違う位相のずれを受ける。

エバネッセント波はエネルギーを奥へ運ばない

媒質2の s 偏光の場は $E_y=t_{\mathrm s}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_xx-\kappa z}$ で、磁場の $x$ 成分は $H_x=-k_{2z}E_y/(\omega\mu_0)=-\mathrm{i}\kappa E_y/(\omega\mu_0)$ になり、$E_y$ と位相が $90^\circ$ ずれる。そのため $\langle S_z \rangle =\operatorname{Re}(k_{2z})\lvert E_y\rvert ^2/(2\omega\mu_0)=0$ で、時間平均では媒質2の奥へエネルギーが流れない。$R=1$ はこれと整合する。一方、$H_z=k_xE_y/(\omega\mu_0)$ は $E_y$ と同じ位相なので、$\langle S_x \rangle$ は $0$ でなく、エネルギーは境界に沿って流れる。エバネッセント波は境界に貼りついた波で、境界に沿った位相速度は $\omega/k_x<c/n_2$ と媒質2の光速より遅い。

場の振幅が $1/\mathrm{e}$ になる深さは $1/\kappa$、強度が $1/\mathrm{e}$ になる深さは $1/(2\kappa)$ である。例えばガラス（$n_1=1.5$）から空気へ入射角 $45^\circ$（臨界角 $41.81^\circ$ より大きい）で $\lambda_0=633\,\mathrm{nm}$ の光が当たると、$\kappa/k_0=\sqrt{1.125-1}=0.354$ で、振幅の侵入長は $285\,\mathrm{nm}$、強度では $142\,\mathrm{nm}$ になる。侵入長は波長の程度で、境界から波長より離れた所には光の強度はほとんど残らない。全反射蛍光顕微鏡は、この浅い光で境界のすぐ近くの分子だけを光らせる。

s と p の位相差

式 (14.9) の2つの位相の差を $\delta=\phi_{\mathrm p}-\phi_{\mathrm s}$ と書く。$a=\kappa/k_{1z}$, $n=n_2/n_1$ とおくと $\delta/2=\arctan a-\arctan(a/n^2)$ で、正接の差の公式と$a=\sqrt{\sin^2\theta_1-n^2}/\cos\theta_1$ から

$$\tan\frac{\delta}{2}=-\frac{\cos\theta_1\sqrt{\sin^2\theta_1-n^2}}{\sin^2\theta_1}\tag{14.10}$$

を得る。位相差は入射角だけで決まり、波長には屈折率の分散を通してしか入らない。直線偏光を s と p が同じ振幅になる向き（入射面から $45^\circ$）にして全反射させると、反射光は位相差 $\delta$ の楕円偏光になる。$\delta=\pm90^\circ$ なら円偏光である。

隔てられた全反射

全反射の境界の向こう側の、エバネッセント波が残っている深さの所に、もう1枚の同じガラスを置くと、光の一部が隙間を通り抜けて向こうのガラスへ出る。これを隔てられた全反射と呼ぶ。隙間（媒質2、厚さ $d$）を挟む3層の系の透過振幅は、2つの境界の係数 $r_{12}, t_{12}$, $r_{23}, t_{23}$ から

$$t_{123}=\frac{t_{12}t_{23}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{2z}d}}{1+r_{12}r_{23}\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k_{2z}d}},\qquad r_{123}=\frac{r_{12}+r_{23}\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k_{2z}d}}{1+r_{12}r_{23}\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k_{2z}d}}\tag{14.11}$$

で与えられる。これは層の中を往復する波を足し合わせた Fabry–Perot の Airy の和（第9章）で、境界条件を2つの境界で直接解いても同じ式になるので、$k_{2z}$ が複素数でも成り立つ。$k_{2z}=\mathrm{i}\kappa$ では $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{2z}d}=\mathrm{e}^{-\kappa d}$ で、隙間が厚い（$\kappa d\gg1$）と透過は $\mathrm{e}^{-2\kappa d}$ で減る。量子力学で粒子がポテンシャルの壁を通り抜けるトンネル効果と同じ形で、エバネッセント波は壁の中で減衰する波動関数に当たる。