出てくるもの（3）：表面プラズモン

光学と量子エレクトロニクス　第14章 §14.4　★★★ p 偏光の反射係数の極は、入射波なしに境界にとどまる波で、誘電関数が負の金属と誘電体の境界に現れる。Drude の金属では表面プラズマ周波数 $\omega_{\mathrm p}/\sqrt{1+\varepsilon_{\mathrm r1}}$ の下に分散曲線を持つ

反射係数の極は境界のモード

反射係数 $r=(\text{反射の振幅})/(\text{入射の振幅})$ が無限大になる $(\omega,k_x)$ では、入射波が無くても反射波と透過波だけで境界条件が満たされる。つまり外から何も来ないのに境界に場が立つ。これは境界そのものが持つモードである。このモードが境界にとどまるには、場が両側で境界から離れるにつれて減衰しなければならないので、媒質1の「反射波」$\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_{1z}z}$ も $z\to-\infty$ で減衰する（$k_{1z}=\mathrm{i}\kappa_1$、媒質2で $k_{2z}=\mathrm{i}\kappa_2$、$\kappa_1,\kappa_2>0$）。

s 偏光の極は $k_{1z}+k_{2z}=0$、つまり $\kappa_1+\kappa_2=0$ で、正の $\kappa$ では成り立たないので、s 偏光の境界のモードは無い。p 偏光の極は $\varepsilon_2k_{1z}+\varepsilon_1k_{2z}=0$、つまり

$$\frac{\kappa_1}{\varepsilon_{\mathrm r1}}+\frac{\kappa_2}{\varepsilon_{\mathrm r2}}=0\tag{14.12}$$

で、$\varepsilon_{\mathrm r1}$ と $\varepsilon_{\mathrm r2}$ の符号が逆のときに限って解を持つ。媒質1を誘電体（$\varepsilon_{\mathrm r1}>0$）、媒質2を誘電関数が負の金属（$\varepsilon_{\mathrm r2}=\varepsilon_{\mathrm m}<0$）とする。$\kappa_j^2=k_x^2-\varepsilon_{\mathrm rj}k_0^2$ を入れて2乗し $k_x$ について解くと、

$$k_{\mathrm{sp}}=k_0\sqrt{\frac{\varepsilon_{\mathrm r1}\varepsilon_{\mathrm m}}{\varepsilon_{\mathrm r1}+\varepsilon_{\mathrm m}}}\tag{14.13}$$

を得る。$k_{\mathrm{sp}}$ が $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r1}}k_0$ より大きい実数になる（両側で減衰する）のは $\varepsilon_{\mathrm m}<-\varepsilon_{\mathrm r1}$ のときである。この境界を伝わる p 偏光の波を表面プラズモン（表面プラズモン・ポラリトン）と呼ぶ。

場の形を見ると、表面プラズモンが何であるかがわかる。p 偏光の電場は $z$ 成分を持ち、境界で $D_z$ は連続だが $\varepsilon$ の符号が変わるので $E_z$ の符号が両側で反転する。$E_z$ の跳びは境界の表面電荷で、それが $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_xx}$ の形で並んで振動する。金属の自由電子が境界で疎と密を作って振動し、その電荷の作る場が両側に貼りついて一緒に進む。この巻の言葉で言えば、取り出すモードは境界に沿った波数 $k_x$ を持つ1つの場のモードで、物質のモデルは Drude の自由電子（第13章）、結合は境界条件である。電子の振動と光の場が一体になったモードなので、表面プラズモンは光とも電子の振動とも違う分散関係を持つ。

Drude の金属の分散関係

損失を無視した Drude の誘電関数 $\varepsilon_{\mathrm m}(\omega)=1-\omega_{\mathrm p}^2/\omega^2$（$\omega_{\mathrm p}$ はプラズマ周波数。第13章）を式 (14.13) に入れる。条件 $\varepsilon_{\mathrm m}<-\varepsilon_{\mathrm r1}$ は $\omega<\omega_{\mathrm{sp}}$ で、

$$\omega_{\mathrm{sp}}=\frac{\omega_{\mathrm p}}{\sqrt{1+\varepsilon_{\mathrm r1}}}\tag{14.14}$$

を表面プラズマ周波数と呼ぶ。$\omega\to\omega_{\mathrm{sp}}$ で分母 $\varepsilon_{\mathrm r1}+\varepsilon_{\mathrm m}$ が $0$ に近づくので $k_{\mathrm{sp}}\to\infty$、$\omega\to0$ では $\varepsilon_{\mathrm m}\to-\infty$ で $k_{\mathrm{sp}}\to\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r1}}k_0$（誘電体の中の光の線）に近づく。分散曲線はいつも光の線の右（同じ $\omega$ でより大きい $k_x$）にある。$\omega_{\mathrm{sp}}<\omega<\omega_{\mathrm p}$ では $-\varepsilon_{\mathrm r1}<\varepsilon_{\mathrm m}<0$ で、境界のモードも金属の中を進む波も無い。$\omega>\omega_{\mathrm p}$ では $\varepsilon_{\mathrm m}>0$ で、金属は透明になり、光は金属の中へ進む（金属がプラズマ周波数より上で透明になること。第13章）。

光を当てても表面プラズモンは立たない

分散曲線が光の線の右にあることは、媒質1から平面波を当てても表面プラズモンを励起できないことを意味する。媒質1から来る光の $k_x=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r1}}k_0\sin\theta_1$ は、どの入射角でも $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r1}}k_0$ を超えない。境界に沿った波数がそろわなければ、14.1節の位相の一致から2つの波は結合しない。足りない $k_x$ を補う方法の1つが、14.3節の全反射である。屈折率 $n_{\mathrm p}$ の大きいプリズムの中で全反射させると、エバネッセント波は $k_x=n_{\mathrm p}k_0\sin\theta_1$ を持ち、これは $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r1}}k_0$ を超える。プリズムの底面に薄い金属膜を付け、膜を通り抜けたエバネッセント波を金属の裏側の境界の表面プラズモンにつなぐ配置を Kretschmann の配置と呼ぶ（章末の総合問題）。$k_x$ が $\operatorname{Re} k_{\mathrm{sp}}$ に一致する入射角で光は表面プラズモンに移り、反射率が鋭く下がる。

金属に損失があると $\varepsilon_{\mathrm m}$ が複素数になり、$k_{\mathrm{sp}}$ も複素数になる。境界に沿った強度は $\mathrm{e}^{-2\operatorname{Im} k_{\mathrm{sp}}x}$ で減るので、表面プラズモンが進める距離（伝搬長）は $L=1/(2\operatorname{Im} k_{\mathrm{sp}})$ である。