授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第1章 §4.1.6　★★ 統計力学の授業の Fermi 積分 $f_\nu(z)$ と熱的 de Broglie 波長で書いた理想 Fermi 気体は、この章の $D(\varepsilon )$ と Sommerfeld 展開と同じものを別の変数で書いたもの。固体物理の授業の $C=\gamma T+\beta_{\mathrm L}T^3$ は4.1.5節の式

統計力学の理想 Fermi 気体。統計力学の授業では、理想 Fermi 気体の大分配関数を

$$\ln\Xi=\sum_{\bm{k},\sigma}\ln\bigl(1+z\,\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _{\bm{k}}}\bigr),\qquad z=\mathrm{e}^{\beta\mu}$$

と書き、$\bm{k}$ の和を積分に直して

$$\frac{n\lambda_T^3}{g_s}=f_{3/2}(z),\qquad \frac{P\lambda_T^3}{g_s k_{\mathrm B} T}=f_{5/2}(z),\qquad f_\nu(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_0^\infty\frac{x^{\nu-1}\,\mathrm{d} x}{z^{-1}\mathrm{e}^x+1},\qquad \lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm B} T}}\tag{4.1.20}$$

と習うことが多い（$g_s=2$ はスピンの縮重度、$\lambda_T$ は熱的 de Broglie 波長、$f_\nu(z)=-\mathrm{Li}_\nu(-z)$）。この章の (4.1.8) の第1式に $D(\varepsilon )$ (4.1.5) を入れ、$x=\beta\varepsilon$ と置いたものが第1式である。実際、$n=k_{\mathrm F}^3/(3\pi^2)$ と $\lambda_T$ の定義から$n\lambda_T^3/2=\frac{4}{3\sqrt\pi}(T_{\mathrm F}/T)^{3/2}$ で、図 4.1.2 の厳密な値はこの式を $z$ について解いたものである。

授業の式の読み方は「$n\lambda_T^3$ が気体の縮退の度合いを表す」である。$n\lambda_T^3\ll1$ なら $z\ll1$ で $f_\nu(z)\approx z$ となり、古典的な理想気体（Boltzmann 分布）に戻る。$n\lambda_T^3\gg1$ なら $z\gg1$ で強く縮退している。この章の言葉では、$n\lambda_T^3\propto(T_{\mathrm F}/T)^{3/2}$ なので、「縮退している」は「$T\ll T_{\mathrm F}$」と同じことである。

Fermi 積分の低温展開。授業では、$z\gg1$ での漸近形

$$f_\nu(z)=\frac{(\ln z)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}\Bigl[1+\nu(\nu-1)\frac{\pi^2}{6}(\ln z)^{-2}+\nu(\nu-1)(\nu-2)(\nu-3)\frac{7\pi^4}{360}(\ln z)^{-4}+\cdots\Bigr]\tag{4.1.21}$$

を使って低温の性質を出すことが多い。これは (4.1.9) を $H(x)=x^{\nu-1}/\Gamma(\nu)$、$\mu\to\ln z$（$k_{\mathrm B} T$ を単位にした化学ポテンシャル）に当てたものそのものである。実際 $G(\ln z)=(\ln z)^\nu/\Gamma(\nu+1)$、$H'(\ln z)=(\nu-1)(\ln z)^{\nu-2}/\Gamma(\nu)$ で、$\frac{\pi^2}{6}H'/G=\nu(\nu-1)\frac{\pi^2}{6}(\ln z)^{-2}$ になる。授業の「Fermi 積分の低温展開」と固体物理の「Sommerfeld 展開」は、同じ定理を違う変数で書いたものである。

状態密度の数え方。固体物理の教科書には、状態密度を1スピンあたりで書くもの、試料全体（体積 $V$ を掛けたもの）で書くもの、1原子あたりで書くものがある。この章は単位体積・両スピンで数えた。1スピンあたりで書いた教科書では Pauli の磁化率が $2\mu_0\mu_{\mathrm B}^2D_{1\text{スピン}}(\varepsilon _{\mathrm F})$ と係数 $2$ を付けて現れるので、式を比べるときは数え方を先に確かめる。

比熱の式。固体物理の授業では、比熱を

$$C=\frac{\pi^2}{2}N k_{\mathrm B}\frac{T}{T_{\mathrm F}}\quad\text{または}\quad C=\frac{\pi^2}{3}D(\varepsilon _{\mathrm F})V k_{\mathrm B}^2T$$

と書き、低温の測定を $C/T=\gamma+\beta_{\mathrm L}T^2$ のグラフで読むことを習う。前者は自由電子に限った形、後者は状態密度だけで書いた形で、この章の (4.1.14) と (4.1.13) に当たる。後者が帯の構造を戻しても成り立つ形であることは4.1.5節で述べた。