この章のまとめ

(1) $N$ 原子の輪で $k$ は $2\pi/(Na)$ おきに $N$ 個あり、$k$ と $-k$ が同じエネルギーを持つ。$[k,k+\mathrm{d} k]$ と $[-k-\mathrm{d} k,-k]$ の2か所に $\frac{Na}{2\pi}\mathrm{d} k$ 個ずつ、スピン2つで$\mathrm{d} N=4\frac{Na}{2\pi}\mathrm{d} k$ の状態が $\mathrm{d}\varepsilon =\lvert \varepsilon '(k)\rvert \mathrm{d} k=2ta\lvert \sin ka\rvert \mathrm{d} k$ に入る。原子1個あたりにすると

$$2D_{\mathrm{site}}(\varepsilon )=\frac{1}{N}\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d}\varepsilon }=\frac{2}{\pi}\frac{1}{2t\lvert \sin ka\rvert }=\frac{2}{\pi\sqrt{4t^2-\varepsilon ^2}}$$

（$4t^2\sin^2ka=4t^2-\varepsilon ^2$）。帯の端 $\varepsilon =\pm2t$ で発散するのは1次元の van Hove 特異点である。$\int_{-2t}^{\varepsilon _{\mathrm F}}2D_{\mathrm{site}}\,\mathrm{d}\varepsilon =\frac2\pi\bigl[\arcsin\frac{\varepsilon _{\mathrm F}}{2t}+\frac\pi2\bigr]=\nu$ から $\varepsilon _{\mathrm F}=2t\sin\frac{\pi(\nu-1)}{2}=-2t\cos\frac{\pi\nu}{2}$。$k$ で言えば、両スピンで詰めるので $k_{\mathrm F}=\pi\nu/(2a)$ まで埋まり、$\varepsilon _{\mathrm F}=-2t\cos(k_{\mathrm F}a)$ と同じである。

(2) (4.1.10) は $D$ を $2D_{\mathrm{site}}$ に読み替えてそのまま使える（原子1個あたり・1スピンあたりで数えても比 $D_{\mathrm{site}}'/D_{\mathrm{site}}$ は変わらない）。$D_{\mathrm{site}}'/D_{\mathrm{site}}=\varepsilon /(4t^2-\varepsilon ^2)$ なので、$\varepsilon _{\mathrm F}=-\sqrt2t$ では $D_{\mathrm{site}}'/D_{\mathrm{site}}=-\frac{\sqrt2}{2t}$ で

$$\mu-\varepsilon _{\mathrm F}=-\frac{\pi^2}{6}( k_{\mathrm B} T)^2\frac{D_{\mathrm{site}}'}{D_{\mathrm{site}}}=\frac{\pi^2}{6\sqrt2}\frac{( k_{\mathrm B} T)^2}{t}=1.163\frac{( k_{\mathrm B} T)^2}{t}$$

である。3次元の自由電子と逆に $\mu$ は上がる。$\varepsilon _{\mathrm F}$ は帯の下半分にあり、状態密度は下（帯の底の特異点）へ向かって増えるので、下に席が多いからである。$k_{\mathrm B} T=0.05t$ では $\mu=-1.41421t+0.00291t=-1.41131t$ で、厳密な $-1.41121t$ との差は $1.0\times10^{-4}t$、補正 $0.0029t$ の $3\%$ である。

(3) 帯は $\varepsilon \to-\varepsilon$ で対称（$D_{\mathrm{site}}(-\varepsilon )=D_{\mathrm{site}}(\varepsilon )$）で、$\nu=1$ では $\varepsilon _{\mathrm F}=0$ である。$\mu=0$ と置くと、$f(-\varepsilon )=1-f(\varepsilon )$ から$\int2D_{\mathrm{site}}(\varepsilon )f(\varepsilon )\,\mathrm{d}\varepsilon =\int_{-2t}^{0}2D_{\mathrm{site}}\,(f+1-f)\,\mathrm{d}\varepsilon$（$\varepsilon >0$ の部分を $-\varepsilon$ に移した）$=\int_{-2t}^02D_{\mathrm{site}}\,\mathrm{d}\varepsilon =1$ で、どの温度でも $\nu=1$ を満たす。したがって $\mu(T)=0$ は厳密であり、Sommerfeld 展開の各項も $D_{\mathrm{site}}'(0)=D_{\mathrm{site}}'''(0)=\cdots=0$ によってすべて $0$ になる（例題 4.1.2 と違い、この場合はべきの外の項も無い）。

(4) (4.1.13) を原子1個あたりに書き直して $C=\frac{\pi^2}{3}\,2D_{\mathrm{site}}(\varepsilon _{\mathrm F}) k_{\mathrm B}^2T$、$2D_{\mathrm{site}}(-\sqrt2t)=\frac{2}{\pi\sqrt2\,t}=\frac{\sqrt2}{\pi t}=\frac{0.450}{t}$。自由電子（$\varepsilon =-2t+ta^2k^2$）では、同じ $k_{\mathrm F}=\pi\nu/(2a)$ で $2D_{\mathrm{site}}^{\text{自由}}=\frac{2a}{\pi}\frac{1}{\lvert \mathrm{d}\varepsilon /\mathrm{d} k\rvert }=\frac{2a}{\pi}\frac{1}{2ta^2k_{\mathrm F}}=\frac{2}{\pi^2t\nu}$、$\nu=\frac12$ で $\frac{4}{\pi^2t}=\frac{0.405}{t}$。比は $\frac{\sqrt2/\pi}{4/\pi^2}=\frac{\pi}{2\sqrt2}=1.111$ である。帯は $k_{\mathrm F}$ で放物線より平らになり（群速度が小さい）、同じ詰まり方でも Fermi 準位の席が多くなる。帯の底の有効質量で見積もると $\gamma$ を $10\%$ 小さく見積もることになる。数値で厳密に求めた比熱（$k_{\mathrm B} T=0.02t$ で $C/ k_{\mathrm B}=0.02976$）は、Sommerfeld の $0.02962$ と $0.5\%$ で一致する。

(5) $\nu=0.05$ では $\varepsilon _{\mathrm F}=-1.99383t$ で、帯の底から $0.00617t$ しか離れていない。係数は $-\frac{\pi^2}{6}D_{\mathrm{site}}'/D_{\mathrm{site}}=133.2/t$ と大きくなる。$k_{\mathrm B} T=0.05t$ では $\mu=-1.99383t+133.2\times0.0025t=-1.661t$ となり、厳密な $-2.031t$（帯の底より下）とまったく合わない。$k_{\mathrm B} T=0.005t$ でも $-1.9905t$ で、厳密な $-1.9925t$ と $0.002t$ ずれ、補正の大きさ $0.0033t$ と同じ桁の誤差がある。Sommerfeld 展開は $D_{\mathrm{site}}$ を $\varepsilon _{\mathrm F}$ のまわり幅 $k_{\mathrm B} T$ で Taylor 展開したので、$k_{\mathrm B} T$ が $\varepsilon _{\mathrm F}$ から帯の端（特異点）までの距離$0.00617t$ より十分小さくなければ使えない。金属で $k_{\mathrm B} T\ll\varepsilon _{\mathrm F}$ と言うときの $\varepsilon _{\mathrm F}$ は、正確には「Fermi 準位から状態密度が急に変わる所までの距離」である。$k_{\mathrm B} T=0.05t$ では帯の底の状態の占有は $0.35$ しかなく、電子は縮退した気体と古典気体の中間にある。これは半導体のキャリアの統計（第4部第5章）の状況である。