当てる道具：Fermi 分布と Sommerfeld 展開

左辺を部分積分する。$f(\infty)=0$、$G(-\infty)=0$ なので

$$\int_{-\infty}^{\infty}H f\,\mathrm{d}\varepsilon =\Bigl[Gf\Bigr]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}G(\varepsilon )\Bigl(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon }\Bigr)\mathrm{d}\varepsilon =\int_{-\infty}^{\infty}G(\varepsilon )\Bigl(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon }\Bigr)\mathrm{d}\varepsilon$$

である。$-\partial f/\partial\varepsilon$ は $\mu$ のまわり幅 $k_{\mathrm B} T$ の中にしか重みを持たないので、$G$ を $\mu$ のまわりで Taylor 展開し、$x=(\varepsilon -\mu)/( k_{\mathrm B} T)$ で書くと

$$\int G\Bigl(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon }\Bigr)\mathrm{d}\varepsilon =\sum_{k\ge0}\frac{G^{(k)}(\mu)}{k!}( k_{\mathrm B} T)^k\int_{-\infty}^{\infty}x^k\frac{\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2}\,\mathrm{d} x .$$

山は左右対称なので奇数の $k$ の積分は $0$ である。$k=0$ は面積 $1$ で $G(\mu)$ を与える。偶数 $k=2j$ では、山の右半分と左半分が同じなので

$$\int_{-\infty}^{\infty}x^{2j}\frac{\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2}\mathrm{d} x=2\int_0^\infty x^{2j}\Bigl(-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\frac{1}{\mathrm{e}^x+1}\Bigr)\mathrm{d} x =4j\int_0^\infty\frac{x^{2j-1}}{\mathrm{e}^x+1}\mathrm{d} x =4j\,\Gamma(2j)\,(1-2^{1-2j})\,\zeta(2j)$$

である（最後は $\frac{1}{\mathrm{e}^x+1}=\sum_{l\ge1}(-1)^{l-1}\mathrm{e}^{-lx}$ と展開して項ごとに積分し、$\sum_{l\ge1}(-1)^{l-1}l^{-s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ を使った）。これを $(2j)!$ で割ると $a_j=2(1-2^{1-2j})\zeta(2j)$ で、$G^{(2j)}=H^{(2j-1)}$ なので (4.1.9) を得る。$\zeta(2)=\pi^2/6$、$\zeta(4)=\pi^4/90$ から $a_1=2\cdot\frac12\cdot\frac{\pi^2}{6}=\pi^2/6$、$a_2=2\cdot\frac78\cdot\frac{\pi^4}{90}=7\pi^4/360$ である。

ここで省いたのは2つある。1つは Taylor 展開を $\varepsilon$ の全域に延ばしたことで、実際の $G$ は $\varepsilon <0$ で $0$ になり $\varepsilon =0$ で滑らかでない。$\varepsilon <0$ の領域での $-\partial f/\partial\varepsilon$ の重みは $\mathrm{e}^{-\mu/ k_{\mathrm B} T}$ 程度なので、この誤差は $k_{\mathrm B} T$ のどのべきよりも速く $0$ になる。もう1つは展開を有限項で打ち切った剰余で、$H$ が $\mu$ の近くで $2J+1$ 回微分できれば Taylor の剰余項から $\mathcal{O}(( k_{\mathrm B} T)^{2J+2})$ に収まる。