この章のまとめ

(1) 閉路1の電圧則は $L_0\ddot q_1+M\ddot q_2+q_1/C=0$、閉路2は $M\ddot q_1+L_0\ddot q_2+q_2/C=0$。$A=\begin{pmatrix}L_0&M\\M&L_0\end{pmatrix}$ は対称で定数、$B=0$、$C_{ij}=\delta_{ij}/C$ も対称なので、3つの条件 (1.15.4)〜(1.15.6) はすべて成り立つ。式 (1.15.7) の構成か、運動エネルギーとポテンシャルを読み取って$L=\frac12(L_0\dot q_1^2+2M\dot q_1\dot q_2+L_0\dot q_2^2)-(q_1^2+q_2^2)/(2C)$（式 (1.15.13)）。

(2) 式 (1.15.14) から $\omega_+=9.535\times10^9\,\mathrm{s^{-1}}$（$q_1=q_2$）、$\omega_-=1.054\times10^{10}\,\mathrm{s^{-1}}$（$q_1=-q_2$）。周波数では $1.518\,\mathrm{GHz}$ と $1.678\,\mathrm{GHz}$。

(3) $\Phi_1=\partial L/\partial\dot q_1=L_0\dot q_1+M\dot q_2$ はコイル1を貫く磁束（自分の電流の分と相手の電流の分の和）、$\Phi_2$ も同じ。インダクタンス行列は $L_0^2-M^2=99\times10^{-18}\,\mathrm{H^2}>0$ で正定値なので Legendre 変換ができ、

$$H=\frac{L_0\Phi_1^2-2M\Phi_1\Phi_2+L_0\Phi_2^2}{2(L_0^2-M^2)}+\frac{q_1^2+q_2^2}{2C},\qquad \{q_i,\Phi_j\}=\delta_{ij}.$$

$q_1$ と $\Phi_2$ は括弧が $0$ で、量子化すれば回路1の電荷と回路2の磁束は同時に確定できる。

(4) Josephson 接合のエネルギー $-E_{\mathrm J}\cos(2\pi\Phi/\Phi_0)$ は磁束の簡単な関数である。電荷を座標にとると、エネルギーを電流 $\dot q$ の関数として書く必要があるが、$I=I_{\mathrm c}\sin\varphi$ を $\varphi$ について解くと電流の多価関数になり（$\lvert I\rvert >I_{\mathrm c}$ では解が無い）、$L$ が書けない。そこで節点の磁束を座標にとり、$L=\frac12C\dot\Phi^2+E_{\mathrm J}\cos(2\pi\Phi/\Phi_0)$（式 (1.15.17)）とする。数値は$I_{\mathrm c}=\Phi_0/(2\pi L_{\mathrm J})=2.068\times10^{-15}/(6.283\times10^{-8})=32.9\,\mathrm{nA}$、$E_{\mathrm J}=I_{\mathrm c}\Phi_0/2\pi$ から $E_{\mathrm J}/h=16.3\,\mathrm{GHz}$、$E_{\mathrm C}/h=e^2/(2Ch)=19.4\,\mathrm{MHz}$、$E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=844$。プラズマ振動数は $\omega_{\mathrm p}=1/\sqrt{L_{\mathrm J}C}=1.000\times10^{10}\,\mathrm{s^{-1}}$（$\hbar\omega_{\mathrm p}=\sqrt{8E_{\mathrm J}E_{\mathrm C}}$ とも一致）で、周波数 $1.5915\,\mathrm{GHz}$。式 (1.15.21) から $0\to1$ は $1.5915-0.0194=1.5722\,\mathrm{GHz}$、$1\to2$ は $1.5528\,\mathrm{GHz}$ で、2つの遷移は $19.4\,\mathrm{MHz}$ 離れる。

(5) 電圧則は $L_0\ddot q_2+R\dot q_2+q_2/C=0$ で、$(q_2,\Phi_2)$ の流れは $\dot q_2=\Phi_2/L_0$, $\dot\Phi_2=-q_2/C-R\Phi_2/L_0$。発散は $-R/L_0$ で、面積は $\mathrm{e}^{-Rt/L_0}$ で縮み、すべての軌道が原点に引き込まれる。命題 1.15.2 から時刻を含まない $H$ は無い（時刻を含む Caldirola–Kanai 型の $L$ は作れる）。エネルギーは $\mathrm{e}^{-Rt/L_0}$ で減るので $1/\mathrm{e}$ になる時間は $L_0/R=100\,\mathrm{ns}$、その間に面積も $\mathrm{e}^{-1}=0.368$ 倍になる。Q 値は $\omega_0L_0/R=10^{10}\times10^{-8}/0.1=1000$。抵抗を Hamilton 系に取り込むには、抵抗を特性インピーダンス $R$ の無限に長い伝送線路（LC の梯子＝振動子の集まり）に置き換える。伝送線路の振動子を熱浴とする式 (1.15.32) の形の $H$ で、回路2のエネルギーは線路を伝わって遠くへ運ばれ、全体の相空間の体積は保たれる。