授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第15章 §1.15.6　★★ 回路理論の Kirchhoff の式と、この章の $L$・$H$ を並べる。「LC 回路を量子化すると電荷と磁束が不確定性を持つ」の書き方と対応させる

解析力学を使わない回路理論の授業では、抵抗 $R$・コイル $L_{\mathrm{ind}}$・コンデンサ $C$ を直列にした回路に電圧源 $V_{\mathrm s}(t)$ をつないだときの式を、Kirchhoff の電圧則から

$$L_{\mathrm{ind}}\ddot q+R\dot q+\frac qC=V_{\mathrm s}(t)\tag{1.15.33}$$

と書き、交流ならインピーダンス $Z=R-\mathrm{i}\omega L_{\mathrm{ind}}+\mathrm{i}/(\omega C)$（時間依存を $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ とする流儀）で解く。この章の言葉では、各項は次のように対応する。

回路の教科書でエネルギー保存として書く $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\frac12L_{\mathrm{ind}}I^2+\frac{q^2}{2C}\bigr)=-RI^2+V_{\mathrm s}I$ は、$H$ の時間変化に摩擦と外力の仕事率を足したものである。抵抗は Rayleigh の散逸関数 $\mathcal F=\frac12R\dot q^2$ を使って $E[L]+\partial\mathcal F/\partial\dot q=0$ と書く流儀もあるが、これは作用の停留ではなく、1.15.5節の判定どおり時刻を含まない $H$ には入らない。電荷を座標にとる「閉路電流法」と節点の磁束を座標にとる「節点電圧法」の2つの解き方は、1.15.3節の2つの座標の選び方そのもので、正準変換で移り合う。

量子物理工学の授業では、LC 回路を「電荷 $\hat q$ と磁束 $\hat\Phi$ を正準共役な演算子とし、$[\hat\Phi,\hat q]=-\mathrm{i}\hbar$（または符号を逆に定義して $\mathrm{i}\hbar$）を課す」と書き、$\hat H=\hat\Phi^2/(2L_{\mathrm{ind}})+\hat q^2/(2C)=\hbar\omega_0(\hat a^\dagger\hat a+\frac12)$ から、電荷と磁束が不確定性関係 $\Delta q\,\Delta\Phi\ge\hbar/2$ を持つ、と述べることが多い。この章の手順に当てはめると、どちらを座標と呼ぶか（したがって交換子の符号）は回路の向きの約束と正準変換 $(q,\Phi)\mapsto(\Phi,-q)$ の選択で、物理は変わらない。Kirchhoff の式を Euler–Lagrange 方程式として出す $L$ を選んだ時点で交換子が決まり、その $L$ は「コイルとコンデンサのエネルギーの和が $H$ である」という物理の情報で（全微分と向きの約束を除いて）1つに決まる。