出てくるもの（1）：回路を解析力学に直す

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第15章 §1.15.3　★★★ LC 回路では電荷が座標、磁束が正準運動量になる。Josephson 接合を足すと非線形の振動子になり、小振動の振動数と非調和性が出る

この節と次の2節では、インダクタンスを $L_{\mathrm{ind}}$ と書く（Lagrangian の $L$ と区別するため）。

LC 回路：電荷と磁束が互いに共役

インダクタンス $L_{\mathrm{ind}}$ のコイルと容量 $C$ のコンデンサを直列にした回路で、コンデンサの電荷を $q$ とすると電流は $\dot q$ である。閉路に沿った電圧の和が $0$ という Kirchhoff の電圧則は

$$L_{\mathrm{ind}}\ddot q+\frac{q}{C}=0\tag{1.15.10}$$

で、ばねにつないだ質点と同じ形をしている。1自由度で $\ddot q$ の係数は定数、$\dot q$ を含まないので条件 (1.15.8) はそのまま成り立ち、

$$L=\frac12L_{\mathrm{ind}}\dot q^2-\frac{q^2}{2C}\tag{1.15.11}$$

の Euler–Lagrange 方程式が式 (1.15.10) になる。コイルに蓄えられるエネルギー $\frac12L_{\mathrm{ind}}I^2$ が運動エネルギー、コンデンサのエネルギー $q^2/(2C)$ がポテンシャルの役をする。正準運動量は

$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}=L_{\mathrm{ind}}\dot q=L_{\mathrm{ind}}I=\Phi\tag{1.15.12}$$

で、コイルを貫く磁束（鎖交磁束）$\Phi$ である。$H=\Phi^2/(2L_{\mathrm{ind}})+q^2/(2C)$ は回路の全エネルギーで、Poisson 括弧は $\{q,\Phi\}=1$、Hamilton 方程式$\dot q=\Phi/L_{\mathrm{ind}}$, $\dot\Phi=-q/C$ の後者はコイルの両端の電圧 $\dot\Phi$ がコンデンサの電圧と釣り合うという式である。角振動数は $\omega_0=1/\sqrt{L_{\mathrm{ind}}C}$。

座標の選び方はこれだけではない。回路の節点（導線の交わる点）ごとに、その点の電圧の時間積分 $\Phi_n=\int V_n\,\mathrm{d} t$（節点の磁束）を座標にとる方法もある。LC 回路では、コンデンサの両端の電圧が $\dot\Phi_n$ になり、$L=\frac12C\dot\Phi_n^2-\Phi_n^2/(2L_{\mathrm{ind}})$ の Euler–Lagrange 方程式が電流則（節点に流れ込む電流の和が $0$）になる。このとき質量の役は $C$、正準運動量は $C\dot\Phi_n=q$ である。2つの記述は $(q,\Phi)\mapsto(\Phi,-q)$ の入れ替えで移り合い、これは母関数 $F_1=qQ$ の正準変換である（第1部第12章）。電荷を座標にすると Kirchhoff の電流則が初めから満たされ（閉路の電荷は節点で保存する）、電圧則が運動方程式になる。節点の磁束を座標にすると逆に電圧則が初めから満たされ、電流則が運動方程式になる。どちらを選ぶかは、エネルギーがどちらの変数の簡単な関数かで決める。非線形のコイル（Josephson 接合）があれば磁束、非線形のコンデンサがあれば電荷を座標にとる。

結合した LC 回路と基準モード

同じ $L_0$, $C$ の LC 回路を2つ並べ、相互インダクタンス $M$ で結ぶ。2つのコイルの磁束は $\Phi_1=L_0\dot q_1+M\dot q_2$, $\Phi_2=M\dot q_1+L_0\dot q_2$ で、

$$L=\frac12\bigl(L_0\dot q_1^2+2M\dot q_1\dot q_2+L_0\dot q_2^2\bigr)-\frac{q_1^2+q_2^2}{2C}\tag{1.15.13}$$

とおけば、Euler–Lagrange 方程式 $L_0\ddot q_1+M\ddot q_2+q_1/C=0$ などが2つの閉路の電圧則になる。運動エネルギーの係数の行列（インダクタンス行列）$\begin{pmatrix}L_0&M\\M&L_0\end{pmatrix}$ が質量行列、$\mathrm{diag}(1/C,1/C)$ が剛性行列で、$\det(K-\omega^2M_{\mathrm{mat}})=0$ を解くと基準モードの角振動数

$$\omega_\pm=\frac{1}{\sqrt{(L_0\pm M)C}}\tag{1.15.14}$$

が出る（第2部第1章の小振動の手順）。$\omega_+$ は $q_1=q_2$（同じ向きに流れる）、$\omega_-$ は $q_1=-q_2$ のモードである。Legendre 変換ができる条件はインダクタンス行列が正定値であること、つまり $L_0^2>M^2$（結合係数 $M/L_0$ が $1$ より小さい）で、実際のコイルではいつも満たされる。

Josephson 接合：非線形の振動子

2つの超伝導体を薄い絶縁層で隔てた Josephson 接合では、接合を流れる電流 $I$ と両端の電圧 $V$ が、超伝導の位相差 $\varphi$ を通して

$$I=I_{\mathrm c}\sin\varphi,\qquad V=\frac{\Phi_0}{2\pi}\dot\varphi,\qquad \Phi_0=\frac{h}{2e}=2.068\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}\tag{1.15.15}$$

で結ばれる（Josephson（1962）¹1B. D. Josephson（1962）、Phys. Lett. 1、251–253。下の脚注へ閉じる。$I_{\mathrm c}$ は臨界電流、$\Phi_0$ は磁束量子）。第2式から $\varphi=2\pi\Phi/\Phi_0$ で、$\Phi$ は節点の磁束である。接合と並列に容量 $C$（接合自身の容量を含む）がある回路で電流則を書くと

$$C\ddot\Phi+I_{\mathrm c}\sin\frac{2\pi\Phi}{\Phi_0}=0 .\tag{1.15.16}$$

これも1自由度で条件 (1.15.8) を満たし、$L$ は

$$L=\frac12C\dot\Phi^2+E_{\mathrm J}\cos\frac{2\pi\Phi}{\Phi_0},\qquad E_{\mathrm J}=\frac{I_{\mathrm c}\Phi_0}{2\pi}\tag{1.15.17}$$

である。磁束を座標にとったので、正準運動量は $C\dot\Phi=q$（コンデンサの電荷）で、

$$H=\frac{q^2}{2C}-E_{\mathrm J}\cos\varphi=4E_{\mathrm C}n^2-E_{\mathrm J}\cos\varphi,\qquad E_{\mathrm C}=\frac{e^2}{2C},\quad n=\frac{q}{2e}.\tag{1.15.18}$$

$n$ は接合を越えた Cooper 対の数、$E_{\mathrm C}$ は電子1個ぶんの帯電エネルギーである。式 (1.15.18) は振り子の $H$ と同じ形で、$\varphi$ が振れの角、$C(\Phi_0/2\pi)^2$ が慣性モーメントにあたる。

$\varphi=0$ のまわりで $-E_{\mathrm J}\cos\varphi=-E_{\mathrm J}+\frac12E_{\mathrm J}\varphi^2-\frac1{24}E_{\mathrm J}\varphi^4+\cdots$ と展開すると（図 1.15.2）、2次の項から小振動の角振動数（プラズマ振動数）

$$\omega_{\mathrm p}=\sqrt{\frac{2\pi I_{\mathrm c}}{\Phi_0C}}=\frac{\sqrt{8E_{\mathrm J}E_{\mathrm C}}}{\hbar}\tag{1.15.19}$$

が出る。2次までの接合は線形のインダクタンス $L_{\mathrm J}=\Phi_0/(2\pi I_{\mathrm c})$ と同じで、$\omega_{\mathrm p}=1/\sqrt{L_{\mathrm J}C}$ である。

振動数が振幅でどう下がるかは、作用角変数で表すと見通しがよい（第1部第14章）。慣性モーメントを $I=C(\Phi_0/2\pi)^2$ と書き、4次の項 $-E_{\mathrm J}\varphi^4/24$ を調和振動子の作用角変数 $\varphi=\sqrt{2J/(I\omega_{\mathrm p})}\sin\theta$ で1周期平均すると、$\overline{\sin^4\theta}=3/8$ から $H$ の補正は $-J^2/(16I)$ になり、

$$H(J)\approx\omega_{\mathrm p}J-\frac{J^2}{16I},\qquad \omega(J)=\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} J}\approx\omega_{\mathrm p}-\frac{J}{8I}\tag{1.15.20}$$

を得る。振り子の周期を厳密に数値積分した値と比べると、振幅 $0.2\,\mathrm{rad}$ で相対誤差は $0.2\%$、振幅 $0.1\,\mathrm{rad}$ で $0.05\%$ で、振幅の2乗で小さくなる。$I=C\hbar^2/(4e^2)=\hbar^2/(8E_{\mathrm C})$ なので、Bohr–Sommerfeld の量子化 $J=(n+\frac12)\hbar$（第1部第14章）を入れると、隣り合う準位の間隔は

$$E_{n+1}-E_n\approx\hbar\omega_{\mathrm p}-(n+1)E_{\mathrm C}\tag{1.15.21}$$

で、間隔は1段ごとに $E_{\mathrm C}$ ずつ狭くなる。量子力学で4次の項を1次の摂動として扱った結果と間隔が一致し²2J. Koch ほか（2007）、Phys. Rev. A 76、042319。下の脚注へ閉じる、$E_{\mathrm J}\gg E_{\mathrm C}$ のこの回路はトランズモンと呼ばれる。間隔が等しくないので、$0\to1$ の遷移の周波数で駆動しても $1\to2$ へは進みにくく、最低の2準位を量子ビットとして使える。

量子化そのものは第4部の規則に従う。$\{q,\Phi\}=1$ から $[\hat q,\hat\Phi]=\mathrm{i}\hbar$（第4部第1章）、LC 回路のエネルギー準位は $\hbar\omega_0(n+\frac12)$（第4部第4章）で、電荷と磁束は位置と運動量と同じ不確定性関係を持つ。その数値は1.15.6節で見る。

1　B. D. Josephson（1962）、Phys. Lett. 1、251–253。

2　J. Koch ほか（2007）、Phys. Rev. A 76、042319。