出てくるもの（2）：速度に依存する力と1階の系

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第15章 §1.15.4　★★★ Lorentz 力の Helmholtz の条件は Maxwell 方程式の半分そのもの。1階の運動方程式では座標どうしが互いに共役になり、点渦・強磁場の荷電粒子・捕食者と被食者がその例

この節では荷電粒子の電荷を $q_{\mathrm e}$ と書く（一般化座標の $q$ と区別するため）。

磁場の中の荷電粒子：条件が Maxwell 方程式になる

荷電粒子の運動方程式 $m\ddot{\bm{r}}=q_{\mathrm e}(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B})$ を、$G_i=m\ddot x_i-q_{\mathrm e}(E_i+(\dot{\bm{r}}\times\bm{B})_i)$ として Helmholtz の条件に当てる。$\bm{E}$, $\bm{B}$ は位置と時刻の与えられた関数である。$A_{ij}=m\delta_{ij}$ は対称で、条件 (1.15.4) は満たされる。$(\dot{\bm{r}}\times\bm{B})_i=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\dot x_jB_k$ から $B_{ij}=-q_{\mathrm e}\sum_k\epsilon_{ijk}B_k$ は反対称で、条件 (1.15.5) の両辺は $0$ になる。残る条件 (1.15.6) を $(i,j)=(x,y)$ の成分で計算すると、右辺の $\frac12\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(B_{xy}-B_{yx})=-q_{\mathrm e}\frac{\mathrm{d} B_z}{\mathrm{d} t}$ の全微分が $\partial_tB_z+\dot{\bm{r}}\cdot\nabla B_z$ を作り、左辺の $C_{xy}-C_{yx}$ と合わせて

$$q_{\mathrm e}\Bigl[\bigl(\nabla\times\bm{E}+\partial_t\bm{B}\bigr)_z+\dot z\,\nabla\cdot\bm{B}\Bigr]=0\tag{1.15.22}$$

となる。ほかの成分も同じ形なので、条件は速度によらない部分から $\nabla\times\bm{E}+\partial_t\bm{B}=0$（Faraday の法則）を、速度に比例する部分から $\nabla\cdot\bm{B}=0$ を要求する。Lorentz 力が Lagrangian から出るための条件は、Maxwell 方程式のうち源を含まない2本そのものである。この2本が成り立てば、有限次元の Poincaré の補題と同じ理由で $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$, $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A}$ となる電位が局所的に在り、

$$L=\frac12m\dot{\bm{r}}^{\,2}-q_{\mathrm e}\phi+q_{\mathrm e}\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}\tag{1.15.23}$$

の Euler–Lagrange 方程式が Lorentz 力の式になる。この $L$ の中身は 第2部第2章で扱う。この観察は Feynman の議論として Dyson（1990）が紹介している¹1F. J. Dyson（1990）、Am. J. Phys. 58、209–211。下の脚注へ閉じる。

1階の系：座標どうしが互いに共役になる

運動方程式が1階の式 $\dot z_a=X_a(z)$（$a=1,\dots,2n$）で与えられることも多い。このとき $L$ は速度について1次の形

$$L=\sum_a\alpha_a(z)\,\dot z_a-H(z)\tag{1.15.24}$$

を探すことになる（Faddeev–Jackiw の1階の Lagrangian²2L. Faddeev, R. Jackiw（1988）、Phys. Rev. Lett. 60、1692–1694。下の脚注へ閉じる）。相空間の作用 $\int(\sum_ip_i\dot q_i-H)\,\mathrm{d} t$（第1部第8章）はその特別な場合である。この $L$ では速度の Hesse 行列が $0$ で、$p_a=\partial L/\partial\dot z_a=\alpha_a(z)$ が座標だけで決まる（拘束）。これは「座標の半分が残りの半分の正準運動量になる」ことを意味し、どの組が共役かを見つけることが問題の中心になる。

強い磁場の中の荷電粒子

一様な磁場 $B$（$z$ 方向）と平面内の静電ポテンシャル $\phi(x,y)$ の中で、質量の項を落とした（$m\to0$）$L$ を考える。ゲージ $\bm{A}=(0,Bx,0)$ をとると

$$L=q_{\mathrm e}Bx\dot y-q_{\mathrm e}\phi(x,y)\tag{1.15.25}$$

で、対称なゲージ $\bm{A}=\frac B2(-y,x,0)$ との差は全微分 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(q_{\mathrm e}Bxy/2)$ である。Euler–Lagrange 方程式は $\dot x=-\partial_y\phi/B$, $\dot y=\partial_x\phi/B$、つまり$\dot{\bm{r}}=\bm{E}\times\bm{B}/B^2$ の $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフトになる。$y$ と共役な運動量は $p_y=q_{\mathrm e}Bx$ なので

$$\{y,x\}=\frac{1}{q_{\mathrm e}B},\qquad H=q_{\mathrm e}\phi(x,y)\tag{1.15.26}$$

で、平面の2つの座標が互いに共役である。量子化すると $[\hat x,\hat y]=-\mathrm{i}\hbar/(q_{\mathrm e}B)$ となり、電子（$q_{\mathrm e}=-e$）では $[\hat x,\hat y]=\mathrm{i}\ell_B^2$、$\ell_B=\sqrt{\hbar/(eB)}$（磁気的長さ）。$B=10\,\mathrm T$ で $\ell_B=8.11\,\mathrm{nm}$ である。$x$ と $y$ が同時に確定しないので、面積 $2\pi\ell_B^2$ ごとに1つの状態しか入らず、単位面積あたりの状態の数は $eB/h=2.42\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}}$ になる。これが最低 Landau 準位の縮退度で、中身は 第4部第6章で扱う。

点渦

2次元の非圧縮で渦なしの流体の中に、循環 $\Gamma_i$ の点渦が位置 $(x_i,y_i)$ にあるとき、渦 $j$ が渦 $i$ の位置に作る速度は $\Gamma_j(-(y_i-y_j),\,x_i-x_j)/(2\pi r_{ij}^2)$ である。これを Kirchhoff（1876）は

$$\Gamma_i\dot x_i=\frac{\partial H}{\partial y_i},\qquad\Gamma_i\dot y_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i},\qquad H=-\frac1{4\pi}\sum_{i<j}\Gamma_i\Gamma_j\ln r_{ij}^2\tag{1.15.27}$$

の形にまとめた³3G. Kirchhoff（1876）、Vorlesungen über mathematische Physik: Mechanik（Teubner、Leipzig）。下の脚注へ閉じる（流体の密度を $1$ とする単位）。これは $q_i=x_i$, $p_i=\Gamma_iy_i$ を正準な組とする Hamilton 方程式で、$L=\sum_i\Gamma_iy_i\dot x_i-H$ が式 (1.15.24) の形の Lagrangian になる。渦の配置空間（平面上の点の組）がそのまま相空間で、1つの渦の $x$ と $y$ が共役である。$H$ は平行移動と回転で不変なので、$\sum_i\Gamma_ix_i$、$\sum_i\Gamma_iy_i$、$\sum_i\Gamma_i(x_i^2+y_i^2)$ が保存する（第1部第10章）。ただし平行移動の2つの生成子どうしの Poisson 括弧は $\{\sum\Gamma_ix_i,\sum\Gamma_iy_i\}=\sum_i\Gamma_i$ で $0$ にならず、強い磁場の中の荷電粒子の $\{x,y\}\neq0$ と同じ構造をしている。

捕食者と被食者

被食者の数 $x$ と捕食者の数 $y$ の増減を表す Lotka–Volterra の式

$$\dot x=x(a_1-b_1y),\qquad\dot y=y(b_2x-a_2)\tag{1.15.28}$$

（$a_1,b_1,a_2,b_2>0$。Volterra（1926）⁴4V. Volterra（1926）、Nature 118、558–560。下の脚注へ閉じる）は、$(x,y)$ の平面での流れの発散が $a_1-b_1y+b_2x-a_2$ で $0$ でなく、面積を保たない。ところが密度 $\rho=1/(xy)$ を掛けた流れ $\rho(\dot x,\dot y)$ の発散は $0$ になる。2次元では、こうした密度があれば（局所的に）保存量 $H$ が在り、$\rho\dot x=-\partial H/\partial y$, $\rho\dot y=\partial H/\partial x$ と書ける。ここでは

$$H=b_2x-a_2\ln x+b_1y-a_1\ln y\tag{1.15.29}$$

で、対数の変数 $q=\ln y$, $p=\ln x$ をとると $\dot q=\partial H/\partial p$, $\dot p=-\partial H/\partial q$ の Hamilton 方程式になる。$L=p\dot q-H=\ln x\,\mathrm{d}(\ln y)/\mathrm{d} t-H$ である。$(x,y)$ で面積が保たれなかったのは座標の選び方のためで、$(\ln y,\ln x)$ の平面では面積 $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y/(xy)$ が保たれる。平衡点 $(a_2/b_2,\,a_1/b_1)$ のまわりで $H$ を2次まで展開すると、小振動の角振動数は $\sqrt{a_1a_2}$ である。

1　F. J. Dyson（1990）、Am. J. Phys. 58、209–211。

2　L. Faddeev, R. Jackiw（1988）、Phys. Rev. Lett. 60、1692–1694。

3　G. Kirchhoff（1876）、Vorlesungen über mathematische Physik: Mechanik（Teubner、Leipzig）。

4　V. Volterra（1926）、Nature 118、558–560。