授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第3章 §7.3.6　★★ 黒体放射の $s=\frac43u/T$ と第一法則を合わせると $\alpha=4/3$ が出て、統計力学の「エントロピーは足し算できる」は粗視化したエントロピーの性質で、細かいエントロピーでは $S_R=S_B$ に置き換わる

黒体放射のエントロピー

学部の熱力学では、空洞放射のエネルギー密度 $u=aT^4$（Stefan–Boltzmann）と圧力 $P=u/3$ から、エントロピー密度を

$$s=\int_0^T\frac{1}{T'}\frac{\partial u}{\partial T'}\,\mathrm{d} T'=\frac43aT^3=\frac43\frac uT\tag{7.3.16}$$

と求める。Gibbs–Duhem の関係 $u+P=Ts$（化学ポテンシャル $0$）からも同じ式が出る。放射が真空へ流れ出るときも、エネルギーの流れとエントロピーの流れの比は同じ $4/(3T)$ で、これを第一法則と合わせたのが式 (7.3.10) の $\alpha=4/3$ である。

授業での式と、この章での読み方を並べると次のようになる。

$$\underbrace{\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}+\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=-\tfrac13\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}\ge0}_{\text{授業：粗視化したエントロピーの和は増える}} \qquad\longleftrightarrow\qquad \underbrace{S(\hat\rho_R)=S(\hat\rho_B)\le\min(S_{\mathrm{rad}},S_{\mathrm{BH}})/k_{\mathrm B}}_{\text{この章：細かいエントロピーは等しく、上限は小さい方}}\tag{7.3.17}$$

左は第7部第1章の式 (7.1.20) の一般化エントロピー $S_{\mathrm{gen}}=S_{\mathrm{BH}}+S_{\mathrm{rad}}$ が、蒸発の各段階で $\lvert \mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}\rvert /3$ ずつ増えることである。右は全体が純粋であることから導かれる等式で、こちらは時間とともに増えない。2つは矛盾しない。粗視化したエントロピーは各部分を独立に熱的とみなして足した値で、相関の分 $I(R;B)$ を捨てているからである。第2部第4章の粗視化と第二法則と同じ構図で、「全体の $D$ は一定のまま、見る範囲を狭めたときの $D$ だけが変わる」が、ここでも成り立っている。

エントロピーは足し算できるか

統計力学の授業では、箱に入った気体を2つの部分 $R$、$B$ に分けると、エントロピーは示量変数で $S_{RB}=S_R+S_B$（境界の補正を除いて）と習う。熱平衡の状態では、これは正しい（第5部第1章 の熱状態の部分系）。全体の状態が純粋状態のときは、同じ分け方で

$$\underbrace{S_{RB}=S_R+S_B}_{\text{授業：熱平衡の示量性}} \qquad\longleftrightarrow\qquad \underbrace{S(\hat\rho_{RB})=0,\quad S(\hat\rho_R)=S(\hat\rho_B)\approx\min(\ln d_R,\ln d_B)}_{\text{この章：乱数の純粋状態}}\tag{7.3.18}$$

となる。乱数の純粋状態の部分系は、小さい側から見るとほぼ最大に混ざっていて熱平衡の状態と区別できない（第2部第3章の典型性）。したがって小さい側のエントロピーは示量的で、qubit の数に比例する。示量性が崩れるのは、部分系が全体の半分を超えたときだけである。Page 曲線は、示量性が成り立つ領域（Page 時間の前）と、補い合う側の示量性に切り替わる領域（後）をつないだ曲線とも読める。