この章のまとめ

(1) Page 時間は $k=8$（$d_R=d_B=256$）。$\mathbb E_\psi S(\hat\rho_R)=\sum_{j=257}^{65536}1/j-255/512=5.0452$ で、Hawking の状態の $8\ln2=5.5452$ より $0.5000$ だけ小さい。例題 7.3.3 の $\frac12-\frac7{12m^2}$ で $m=256$ とした値である。Page 時間までは2つの状態の $S$ はほぼ同じで、差は最後の1刻みで $\frac12$ nat に開く。

(2) $k=4$：$\mathbb E_\psi S(\hat\rho_R)=2.7706$（上限 $4\ln2=2.7726$ より $2^{-8}/2=0.00195$ 小さい）。

$$D_R=0.00195,\qquad D_B=12\ln2-2.7706=5.5471,\qquad I(R;B)=5.5413.$$

$k=12$：Page の式は $k\leftrightarrow16-k$ で対称なので $S$ は同じ $2.7706$ で、

$$D_R=12\ln2-2.7706=5.5471,\qquad D_B=0.00195,\qquad I(R;B)=5.5413.$$

どちらも和は $16\ln2=11.0904$ である。相関の量 $I(R;B)$ は同じで、$R$ だけで読み取れる情報と $B$ だけで読み取れる情報が入れ替わった。$k=4$ では放射だけから何も読めず、情報の残りはブラックホールの側にある。$k=12$ では $5.55$ nat（8 ビット）が放射だけから読み取れる。

(3) Hawking の状態では $S(\hat\rho_R)=12\ln2=8.318$。全体が純粋なら Schmidt 分解から $S(\hat\rho_R)=S(\hat\rho_B)$ で、$B$ は 4 qubit なので Klein の不等式 $D(\hat\rho_B\,\|\,\mathbf 1/16)\ge0$ から $S(\hat\rho_B)\le4\ln2=2.773$。$8.318>2.773$ なので、Hawking の状態は全体が純粋な 16 qubit の状態として存在しない。放射の中の 12 個の qubit の相手を、4 個しかない $B$ にしまうことはできない。

(4) $I(L;E)=\ln2+S_{12}-S_{13}=1.3848$、$I(L;B)=2\ln2-1.3848=0.0015$。$L$ はほとんど前の放射とだけもつれている。$I(L;B)=2\ln2$ を仮定すると $I(L;E)+I(L;B)\ge1.3848+1.3863>2\ln2$ となり、純粋な3つの部分での等式 (7.3.14)、言い換えると弱単調性$S(\hat\rho_L)+S(\hat\rho_L)\le S(\hat\rho_{LE})+S(\hat\rho_{LB})$ が破れる。$L$ は2つの相手と同時に最大にもつれることができない。

(5) $S_0/k_{\mathrm B}=4\pi GM_0^2/(\hbar c)=2.653\times10^{38}$、qubit の数 $3.827\times10^{38}$。$t_{\mathrm{ev}}=5120\pi G^2M_0^3/(\hbar c^4)=2.67\times10^9$ 年（第5部第12章の総合問題の値と同じ）。Page 時間は $0.568\,t_{\mathrm{ev}}=1.51\times10^9$ 年、そのときの質量は $0.756M_0=7.56\times10^{10}\,\mathrm{kg}$、放射の細かいエントロピーの最大は $\frac47S_0/k_{\mathrm B}=1.52\times10^{38}$ である。16 qubit の模型との違いは qubit の数が $10^{37}$ 倍になったことだけで、曲線の形と「Page 時間の後は後の放射が前の放射ともつれる」という結論はそのまま成り立つ。