この章のまとめ

(1) 式 (2.11.15) から前端の固有加速度は $g/(1+g\ell/c^2)$。$\epsilon\equiv g\ell/c^2=9.80665\times100/(2.99792458\times10^8)^2=1.09\times10^{-14}$ なので、前端は後端より相対的に $1.09\times10^{-14}$ だけ小さい加速度で進む。

(2) $\sqrt{g_{00}(\ell)/g_{00}(0)}=1+\epsilon$ なので、前端の時計は $1.09\times10^{-14}$ の割合で速く進む。1日では $1.09\times10^{-14}\times86400\,\mathrm s=0.943\,\mathrm{ns}$。

(3) 前端で静止しているので $E=mc^2N(\ell)=mc^2(1+\epsilon)$。後端（$N=1$、$g_{00}=1$）では式 (2.11.21) より $E=E_{\mathrm{loc}}=mc^2/\sqrt{1-v_{\mathrm{loc}}^2/c^2}$ なので

$$\frac{1}{\sqrt{1-v_{\mathrm{loc}}^2/c^2}}=1+\epsilon,\qquad v_{\mathrm{loc}}=c\sqrt{1-\frac{1}{(1+\epsilon)^2}} .$$

$\epsilon\ll1$ で $v_{\mathrm{loc}}\approx c\sqrt{2\epsilon}=\sqrt{2g\ell}=44.29\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ で、Newton 力学の値と $10^{-14}$ の大きさの差しかない。

(4) 慣性系で物体は $x=\ell$ に静止している。後端の世界線は式 (2.11.12) で $x=(c^2/g)(\cosh(g\tau/c)-1)$ なので、$x=\ell$ になるのは

$$\cosh\frac{g\tau}{c}=1+\epsilon,\qquad \tau=\frac{c}{g}\operatorname{arcosh}(1+\epsilon)\approx\sqrt{\frac{2\ell}{g}}=4.516\,\mathrm s$$

のときである。このときの後端の速さは $c\tanh(g\tau/c)=c\sqrt{1-1/\cosh^2(g\tau/c)}=c\sqrt{1-1/(1+\epsilon)^2}$ で、(3) の $v_{\mathrm{loc}}$ と一致する。後端の観測者には「物体が落ちてきてぶつかった」ように見えるが、慣性系では「静止した物体に後端が追いついた」だけである。2つの見方が同じ速さを与えることは、Rindler 座標の Noether の保存量と、慣性系の双曲運動が同じ物理を書いていることの確認になる。

(5) 慣性系で2つの物体はどちらも静止しているので、間隔は一定である。Rindler 座標でも $\xi$ の差は $\cosh(gT/c)$ で縮んで見えるが、これは座標の目盛りの問題で、自由落下する物体どうしの間隔（慣性系で測った距離）は変わらない。2.11.2節の言葉では、自由落下する2つの物体の相対加速度が $0$、つまり潮汐力が $0$ である。ロケットの中の「重力」は座標の取り方で完全に消せる一様な重力で、時空は平坦（曲率 $0$）である。地球のまわりの重力では潮汐力が $0$ でないので、時空そのものが曲がっている。曲率を Riemann テンソルとして定義し、自由落下する物体どうしの相対加速度（測地線偏差）で表すのは第2部第14章である。