出てくるもの1：一様に加速する観測者と Rindler 座標

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第11章 §2.11.3　★★★ 双曲運動の観測者の族で座標を張ると平坦な時空の計量が $g_{00}=(1+a\xi/c^2)^2$ になる。重力の無い所に、座標の取り方として一様な重力が現れる

双曲運動を観測者の族へ広げる

第2部第3章では、一様な力を受けて静止から動き出す粒子が双曲線の世界線を描くことを示した（第2部第3章）。自分の瞬間の静止系で測った加速度（固有加速度）が一定値 $a$ の観測者の世界線は、固有時 $\tau$ を径数にとって

$$ct=\frac{c^2}{a}\sinh\frac{a\tau}{c},\qquad x+\frac{c^2}{a}=\frac{c^2}{a}\cosh\frac{a\tau}{c}\tag{2.11.12}$$

と書ける。$(x+c^2/a)^2-c^2t^2=(c^2/a)^2$ で、$t=0$ に $x=0$ で静止している。4元速度は $u^\mu=c(\cosh(a\tau/c),\sinh(a\tau/c))$ で $u_\mu u^\mu=c^2$、4元加速度の長さは $a$ である。

ロケットの中の観測者が使う座標を作るには、ロケットの各部分に1人ずつ観測者を置き、その族で座標を張る。位置 $\xi$ の観測者の世界線を、同じ中心 $x=-c^2/a$ を持つ双曲線のうち半径 $c^2/a+\xi$ のものとし、

$$ct=\Bigl(\frac{c^2}{a}+\xi\Bigr)\sinh\frac{aT}{c},\qquad x+\frac{c^2}{a}=\Bigl(\frac{c^2}{a}+\xi\Bigr)\cosh\frac{aT}{c}\tag{2.11.13}$$

とおく（$y,z$ はそのまま）。$(T,\xi)$ をRindler 座標と呼ぶ。$T$ は $\xi=0$ の観測者の固有時に一致するように選んだ。

$X=c^2/a+\xi$、$\theta=aT/c$ とおくと $\mathrm{d}(ct)=\sinh\theta\,\mathrm{d} X+X\cosh\theta\,\mathrm{d}\theta$、$\mathrm{d} x=\cosh\theta\,\mathrm{d} X+X\sinh\theta\,\mathrm{d}\theta$ で、$c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2=X^2\mathrm{d}\theta^2-\mathrm{d} X^2$ となる。$\mathrm{d}\theta=a\,\mathrm{d} T/c$、$\mathrm{d} X=\mathrm{d}\xi$ を入れると

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1+\frac{a\xi}{c^2}\Bigr)^2c^2\mathrm{d} T^2-\mathrm{d}\xi^2-\mathrm{d} y^2-\mathrm{d} z^2\tag{2.11.14}$$

を得る。これが一様に加速する観測者の見る計量である。計量の成分は $T$ によらず、$g_{00}=(1+a\xi/c^2)^2$ だけが場所 $\xi$ に依存する。$a\xi\ll c^2$ で展開すると $g_{00}\approx1+2a\xi/c^2$ で、式 (2.11.5) の $\Phi=a\xi$、つまり上向きの距離 $\xi$ に比例する一様な重力のポテンシャルと一致する。重力の無い平坦な時空を座標で書き直しただけで、一様な重力の計量が現れた。これが等価原理の計量の言葉での表現である。

各部分の固有加速度と地平面

$\xi$ が一定の観測者は、固有時 $\mathrm{d}\tau=(1+a\xi/c^2)\mathrm{d} T$ を刻み、半径 $X=c^2/a+\xi$ の双曲線を描く。式 (2.11.12) の $c^2/a$ を $X$ に替えて読むと、その固有加速度は

$$a(\xi)=\frac{c^2}{X}=\frac{a}{1+a\xi/c^2}\tag{2.11.15}$$

である。前の方（$\xi>0$）の観測者ほど加速度が小さい。観測者どうしの距離 $\xi_1-\xi_2$ は、どの時刻 $T$ でも、各観測者の瞬間の静止系で測って変わらない（式 (2.11.14) の $\mathrm{d} T=0$ の切り口で $\mathrm{d}\xi$ が距離そのもの）。長さを保ったまま加速するロケットは、前と後ろで違う加速度を持たなければならない。これは第2部第3章の双曲運動を族に広げたときに初めて出てくる、Newton 力学に無い性質である。

$\xi\to-c^2/a$ で $g_{00}\to0$ になる。この面は図 2.11.1 の光円錐 $ct=\pm(x+c^2/a)$ に当たり、そこより向こう（$ct>x+c^2/a$ の領域）から出た光はロケットのどの観測者にも届かない。この面をRindler の地平面と呼ぶ。地平面のある観測者には量子論の真空が有限の温度の熱浴に見える（Unruh 効果）ことを、第5部第12章で示す。

Rindler 座標の中の粒子と Noether の保存量

ロケットの中で $\xi$ 方向に動く粒子の Lagrangian は、作用 (2.11.3) を $T$ を径数として書けば

$$L=-mc\sqrt{N(\xi)^2c^2-\dot\xi^2},\qquad N(\xi)=1+\frac{a\xi}{c^2},\qquad \dot\xi=\frac{\mathrm{d} \xi}{\mathrm{d} T}\tag{2.11.16}$$

である。$L$ は $T$ を含まないので、第1部第8章のエネルギー関数（時刻をずらす変換の Noether の保存量。第1部第10章）

$$E=\dot\xi\frac{\partial L}{\partial \dot\xi}-L=\frac{mc^2N(\xi)^2}{\sqrt{N(\xi)^2-\dot\xi^2/c^2}}\tag{2.11.17}$$

が保存する。$\xi$ に静止している粒子では $E=mc^2N(\xi)$ で、高い所ほど大きい。$a\xi\ll c^2$ では $E\approx mc^2+ma\xi$ となり、静止エネルギーに一様な重力の位置エネルギー $ma\xi$ を足したものになる。この $E$ を次の節の重力赤方偏移で使う。