出てくるもの2：時計の進みは高さで変わる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第11章 §2.11.4　★★★ 計量が時刻によらないことに Noether の定理を当てると、静止した時計の固有時は $\sqrt{g_{00}}\,\mathrm{d} t$、光の振動数は $\nu\sqrt{g_{00}}$ が一定。弱い場で $\Delta\nu/\nu=-\Delta\Phi/c^2$

静止した時計の固有時

時刻によらない計量（$g_{\mu\nu}$ が $x^0$ によらず、$g_{0i}=0$）を考える。場所 $\bm{x}$ に静止した時計の世界線は $\mathrm{d}\bm{x}=0$ なので、その時計の固有時は

$$\mathrm{d}\tau=\frac{\mathrm{d} s}{c}=\sqrt{g_{00}(\bm{x})}\,\mathrm{d} t\tag{2.11.18}$$

である。座標時刻 $t$ は全空間に共通の目盛りだが、実際に時計が刻むのは $\tau$ で、その比 $\sqrt{g_{00}}$ が場所によって違う。弱い場の式 (2.11.5) では $\mathrm{d}\tau\approx(1+\Phi/c^2)\mathrm{d} t$ で、$\Phi$ の低い所（重力源に近い所）の時計ほど遅い。ただし、これだけでは「$\mathrm{d} t$ は誰も持っていない目盛り」なので、2つの時計を比べる手続きが要る。比べるには光の信号を送る。

光の信号で比べる

場所 A の時計が、光の山を一定の間隔で場所 B へ送る（図 2.11.2）。A を出た1つ目の山が B に着くまでの座標時間を $t_{\mathrm{AB}}$ とする。計量が時刻によらないので、2つ目の山の経路は1つ目の経路を時刻の向きにずらしただけのもので、所要の座標時間は同じ $t_{\mathrm{AB}}$ である。したがって、A で山を出す座標時刻の間隔 $\Delta t$ と、B で山を受ける座標時刻の間隔は等しい。それぞれの時計で測る間隔は式 (2.11.18) から $\Delta\tau_{\mathrm A}=\sqrt{g_{00}(\mathrm A)}\,\Delta t$、$\Delta\tau_{\mathrm B}=\sqrt{g_{00}(\mathrm B)}\,\Delta t$ で、振動数は間隔の逆数なので

$$\frac{\nu_{\mathrm B}}{\nu_{\mathrm A}}=\sqrt{\frac{g_{00}(\mathrm A)}{g_{00}(\mathrm B)}}\tag{2.11.19}$$

を得る。弱い場で展開すると

$$\frac{\nu_{\mathrm B}}{\nu_{\mathrm A}}=1+\frac{\Phi_{\mathrm A}-\Phi_{\mathrm B}}{c^2}+\mathcal{O}(c^{-4}),\qquad \frac{\Delta\nu}{\nu}\equiv\frac{\nu_{\mathrm B}-\nu_{\mathrm A}}{\nu_{\mathrm A}}\approx-\frac{\Phi_{\mathrm B}-\Phi_{\mathrm A}}{c^2}\tag{2.11.20}$$

となる。B が A より高い所（$\Phi_{\mathrm B}>\Phi_{\mathrm A}$）にあれば、B で受ける光の振動数は低い（赤い方へずれる）。これを重力赤方偏移と呼ぶ。地表付近では $\Phi_{\mathrm B}-\Phi_{\mathrm A}=gh$ で $\Delta\nu/\nu=-gh/c^2$ である。

Noether の保存量で見る

同じ結果を、時刻をずらす変換の Noether の保存量から出す。作用 (2.11.3) を $t$ を径数として書き、$g_{ij}=-\delta_{ij}$ の場合を考えると $L=-mc\sqrt{g_{00}c^2-v^2}$ で、エネルギー関数は

$$E=\bm{v}\cdot\frac{\partial L}{\partial \bm{v}}-L=\frac{mc^3g_{00}}{\sqrt{g_{00}c^2-v^2}}$$

である。$L$ が $t$ によらないので $E$ は保存する。その場所に静止した観測者が測る速さは、距離 $\mathrm{d}\bm{x}$ を自分の固有時 $\mathrm{d}\tau=\sqrt{g_{00}}\,\mathrm{d} t$ で割った $v_{\mathrm{loc}}=v/\sqrt{g_{00}}$ なので、$\sqrt{g_{00}c^2-v^2}=\sqrt{g_{00}}\,c\sqrt{1-v_{\mathrm{loc}}^2/c^2}$ となり

$$E=\sqrt{g_{00}}\,E_{\mathrm{loc}},\qquad E_{\mathrm{loc}}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{loc}}^2/c^2}}\tag{2.11.21}$$

を得る。$E_{\mathrm{loc}}$ はその場の観測者が特殊相対論の式で測るエネルギーである。保存するのは $E_{\mathrm{loc}}$ でなく $\sqrt{g_{00}}E_{\mathrm{loc}}$ なので、低い所（$g_{00}$ が小さい所）ほど $E_{\mathrm{loc}}$ が大きい。落ちる物体が速くなるのはこのためである。光の粒子についても同じ形が成り立ち（$m\to0$ の極限は第2部第12章で扱う）、$E_{\mathrm{loc}}=h\nu_{\mathrm{loc}}$ とおけば $\sqrt{g_{00}}\,\nu_{\mathrm{loc}}$ が光の経路に沿って一定である。これは式 (2.11.19) そのものである。前の小節の「経路を時刻の向きにずらす」議論と、この節の Noether の保存量は、計量が時刻によらないという同じ対称性の2つの表し方になっている。

1　R. V. Pound and G. A. Rebka, Jr. (1960), Phys. Rev. Lett. 4, 337。鉄 57 の 14.4 keV のガンマ線を Mössbauer 効果で反跳なしに出し入れした。