当てる道具：座標の取り替えと、全微分だけ違う Lagrangian

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第11章 §2.11.2　★★★ 一様な重力は自由落下する座標へ取り替えると Lagrangian の全微分の項に吸収されて消える。消せないのは2階微分の潮汐力だけで、これが「重力は計量の曲がり」と書くしかない理由になる

落下するエレベーター

地表付近の一様な重力の中で、鉛直方向に動く粒子の Lagrangian は Newton 力学では

$$L=\frac12m\dot z^2-mgz\tag{2.11.7}$$

である（$z$ は上向き）。自由落下するエレベーターに固定した座標 $z'$ を

$$z=z'-\frac12gt^2\tag{2.11.8}$$

で入れる。エレベーターの床 $z'=0$ は $z=-\frac12gt^2$ で、静止から自由落下する。これは時刻に依存する点変換で、第1部第2章で見たとおり、Lagrangian に新しい座標を代入するだけで新しい座標の Lagrangian が得られる（第1部第2章）。$\dot z=\dot z'-gt$ を代入すると

$$L=\frac12m(\dot z'-gt)^2-mg\Bigl(z'-\frac12gt^2\Bigr) =\frac12m\dot z'^2-mgt\,\dot z'-mgz'+mg^2t^2 .$$

第2項と第3項は $-mg\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(tz')$ にまとまり、第4項は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\frac13mg^2t^3\bigr)$ である。したがって

$$L=\frac12m\dot z'^2+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(-mgtz'+\frac13mg^2t^3\Bigr)\tag{2.11.9}$$

となる。第1部第5章で示したように、Lagrangian に時刻と座標の関数の全微分を足しても Euler–Lagrange 方程式は変わらない（第1部第5章）。したがってエレベーターの中の粒子は自由粒子 $L=\frac12m\dot z'^2$ と同じ運動をし、一様な重力は座標の取り替えで完全に消える。この計算が成り立ったのは、ポテンシャルエネルギーの係数 $m$ と運動エネルギーの係数 $m$ が同じだったからである。両者が違えば $\frac12m_{\mathrm i}(\dot z'-gt)^2$ の交差項 $-m_{\mathrm i}gt\dot z'$ と $-m_{\mathrm g}gz'$ が1つの全微分にまとまらない。

逆向きにたどると、重力の無い所で一様に加速する箱（ロケット）の中の観測者は、一様な重力の中で静止している観測者と区別できない。Einstein はこの観察を原理として仮定した。

Einstein の等価原理は、作用 (2.11.3) の言葉では「各点で $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ かつ $g_{\mu\nu}$ の1階微分が $0$ になる座標をとれる」と言い換えられる。この主張が任意の $g_{\mu\nu}$ で成り立つこと（1点で Christoffel 記号を 0 にする座標）は、数学の章（第2部第13章の式 (2.13.20)）で示す。

消せない部分：潮汐力

一様でない重力ではどうか。点 $\bm{X}(t)$ で自由落下するエレベーターの中で、そこから $\bm{\xi}$ だけ離れた粒子を考える。粒子の位置 $\bm{x}=\bm{X}+\bm{\xi}$ の運動方程式 $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi(\bm{x})$ からエレベーターの運動 $\ddot{\bm{X}}=-\nabla\Phi(\bm{X})$ を引き、$\Phi$ を $\bm{X}$ のまわりで展開すると

$$\ddot\xi_i=-\sum_j\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_i\partial x_j}\bigg|_{\bm{X}}\xi_j+\mathcal{O}(\lvert \bm{\xi}\rvert ^2)\tag{2.11.10}$$

を得る。1階微分（一様な部分）は引き算で消えたが、2階微分の項は残る。この項は $\bm{\xi}$ に比例するので、エレベーターの中のどの粒子にも同じ加速度を与えるわけでなく、どの座標の取り替えでも同時には消せない。これを潮汐力と呼ぶ。地球の外で $\Phi=-GM/r$ のとき、鉛直方向と水平方向の係数は

$$\ddot\xi_{\text{鉛直}}=+\frac{2GM}{R^3}\xi_{\text{鉛直}},\qquad \ddot\xi_{\text{水平}}=-\frac{GM}{R^3}\xi_{\text{水平}}\tag{2.11.11}$$

である。鉛直には引き離され、水平には押し縮められる。2つの水平方向と1つの鉛直方向の係数の和は $2-1-1=0$ で、これは真空中で $\nabla^2\Phi=0$ であることの言い換えである。この「跡が $0$」という性質が、一般相対論の真空の方程式 $R_{\mu\nu}=0$ の Newton 版にあたる（第2部第14・16章）。

重力を計量の曲がりとして書くしかない理由

ここまでの2つの事実を並べると、重力を時空の幾何として書く理由がはっきりする。第一に、自由落下の軌道は物体によらず、初めの点と速度だけで決まる。これは「ある点からある向きに引いたまっすぐな線は1本に決まる」という幾何の直線の性質と同じ構造をしている。電磁気力はこの性質を持たない（$q/m$ で軌道が分かれる）ので、幾何に吸収できない。第二に、一様な重力は座標の取り替えで消えるが、潮汐力は消えない。これは地球の表面の地図と同じ構造である。球面の小さな領域は平らな地図でいくらでも正確に描けるが、球面全体を1枚の平らな地図に歪みなく描くことはできず、その歪みは距離の2次で現れる。重力の1階微分が座標で消え、2階微分が残ることは、計量 $g_{\mu\nu}$ の1階微分は座標で $0$ にできるが2階微分の組み合わせ（曲率）は消せない、という幾何の事実と一対一に対応する。

したがって、重力そのものは「座標で消せない部分」、つまり時空の曲率に宿り、局所的な重力加速度は座標の取り方の問題になる。この章の残りでは、曲率が $0$ の平坦な時空の中でも、加速する座標をとれば $g_{00}$ が場所によって変わり、時計の進みが高さで変わることを見る。曲率そのものは第2部第14章で定義する。