授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第11章 §2.11.6　★★ 慣性力・光子の「質量」の議論・エレベーターの Doppler の議論は、Rindler 計量の $\sqrt{g_{00}}$ の比を $1/c^2$ の1次で展開したものにあたる

慣性力

学部の力学では、加速度 $\bm{A}$ で並進する座標系の運動方程式を

$$m\ddot{\bm{x}}'=\bm{F}-m\bm{A}$$

と書き、$-m\bm{A}$ を慣性力（見かけの力）と呼ぶ。慣性力が質量に比例するので、一様な重力 $m\bm{g}$ と区別できない、というのが等価原理の授業での説明である。この章ではこれを、座標の取り替え (2.11.8) で Lagrangian が全微分の項だけ変わること（式 (2.11.9)）として書いた。授業の形は運動方程式に力を1つ足す操作、この章の形は作用の被積分関数を書き換える操作で、後者は「何が消えて何が残るか」（全微分は消え、潮汐力の2階微分は残る）を式の上で区別できる。

光子の「重さ」と Doppler の議論

重力赤方偏移は、授業や教養書では次の2つの議論で説明されることが多い。

1つ目は、エネルギー $h\nu$ の光子に質量 $h\nu/c^2$ を持たせ、高さ $h$ だけ上る間に位置エネルギー $(h\nu/c^2)gh$ を失う、という議論で、$\nu'=\nu(1-gh/c^2)$ を得る。この章の式 (2.11.21) の $\sqrt{g_{00}}E_{\mathrm{loc}}=$ 一定を $1/c^2$ の1次で展開したもの $E_{\mathrm{loc}}(1+\Phi/c^2)=$ 一定と同じ式である。ただし光子を「質量 $h\nu/c^2$ の Newton の粒子」として扱う議論は、同じ考え方で太陽をかすめる光の曲がりを計算すると $0.875''$ になり、一般相対論の値 $1.75''$ の半分しか出ない（第2部第16章）。不足するのは、Newton 極限では見えない $g_{ij}$ の補正 $\Psi$ の分で、式 (2.11.6) の後で述べたとおり、光のように速い粒子で初めて現れる。

2つ目は、加速度 $a$ のロケットの床から天井（高さ $h$）へ光を送る議論である。光が天井に届くまでの時間はほぼ $h/c$ で、その間に天井は速さ $ah/c$ を得て光源から遠ざかるので、Doppler 効果で $\nu'=\nu(1-ah/c^2)$ となる。この議論は特殊相対論だけで閉じていて、この章の Rindler 計量の結果の1次の部分を取り出したものである（例題 2.11.7）。