当てる道具：保存量で自由度を減らし、平衡点のまわりで2次まで展開する

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第1章 §2.1.2　★★★ 4つの系で共通に使う手順をまとめる。行き着く先は「平衡点のまわりの $L$ は振動子の和」という結果

4つの手順

どの系でも、$L$ を書いた後に当てる道具は同じで、次の順に使う。

手順1（循環座標と保存量）：$L$ がある一般化座標 $q_k$ を含まなければ、共役な運動量 $p_k=\partial L/\partial\dot q_k$ が保存する。これは $q_k$ をずらす変換についての Noether の定理（第1部第10章）の最も簡単な場合である。2体の重心 $\bm{R}$、中心力の方位角、対称なこまの2つの Euler 角がこれにあたる。

手順2（エネルギー）：$L$ が時刻を陽に含まなければ $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ が保存する。$T$ が速度の2次の同次式で $V$ が速度によらないとき、$H=T+V$ である（第1部第8章）。

手順3（1自由度に落とす）：手順1の保存量を、$H$ の中で運動量のまま固定すると、残った座標だけの Hamiltonian になる。自由度1まで減れば、$H=\frac12m_{\mathrm{eff}}\dot q^2+U_{\mathrm{eff}}(q)$ の形から、有効ポテンシャル $U_{\mathrm{eff}}$ の等高線を読むだけで運動の種類が分かる。

手順4（平衡点のまわりの2次の展開）：$U_{\mathrm{eff}}$ や $V$ の極小（平衡点）のまわりでずれの2次まで残すと、$L$ は振動子の $L$ の和になる。下で示す。

平衡点のまわりの $L$ は振動子の和

自由度 $f$ の系で、$L=\frac12\sum_{i,j}M_{ij}(q)\dot q_i\dot q_j-V(q)$ と書けているとする。$M_{ij}(q)$ は質量行列で、対称かつ正定値である（第1部第2章）。点 $q^{(0)}$ で $\partial V/\partial q_i=0$ がすべての $i$ で成り立つとき、$q^{(0)}$ を平衡点と呼ぶ。平衡点からのずれ $\eta_i=q_i-q^{(0)}_i$ が小さいとして、$L$ を $\eta$ と $\dot\eta$ の2次まで展開する。

証明

運動エネルギーは $\dot\eta$ についてすでに2次なので、係数 $M_{ij}(q)$ は $q=q^{(0)}$ での値だけ残せばよい（$M_{ij}(q)$ を $\eta$ で展開した1次の項は全体で3次になる）。$V$ は Taylor 展開で $V(q^{(0)})+\sum_i\partial_iV\,\eta_i+\frac12\sum_{i,j}K_{ij}\eta_i\eta_j+\mathcal{O}(\eta^3)$ となり、平衡点では1次の項が消える。定数 $V(q^{(0)})$ は運動方程式に入らない。

速度に掛かる係数が平衡点の値で止まる点は、展開を手で進めるときに取り違えやすい。たとえば振り子の $L=\frac{m\ell^2}{2}\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta$ では$M=m\ell^2$ がもともと定数なので違いが見えないが、球面振り子のように $M_{ij}$ が座標による系では、$\dot\eta$ の前の $\sin^2\theta$ を平衡点の値で置き換える（章末の総合問題）。

1自由度なら式 (2.1.5) は $L_2=\frac M2\dot\eta^2-\frac K2\eta^2$ で、$K>0$ のとき Euler–Lagrange 方程式は $M\ddot\eta=-K\eta$、一般解は $\eta=A\cos(\omega_0t+\alpha)$, $\omega_0=\sqrt{K/M}$ である。$K<0$ なら解は指数関数的に増え、平衡点は不安定になる。多自由度で $M$ と $K$ を同時に対角化し、$L_2$ を独立な振動子の和に分けるのが2.1.5節の基準振動である。

外から叩かれる振動子

手順2は「$L$ が時刻を陽に含まない」ことを前提にしている。前提が外れる最も簡単な例が、外から時刻の関数の力 $F(t)$ を受ける振動子

$$L=\frac m2\dot x^2-\frac m2\omega_0^2x^2+F(t)\,x\tag{2.1.6}$$

である。Euler–Lagrange 方程式は $m\ddot x=-m\omega_0^2x+F(t)$ で、$H=\frac m2\dot x^2+\frac m2\omega_0^2x^2-F(t)x$ は$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=-\frac{\partial L}{\partial t}=-\dot F(t)\,x$ だけ変わる（第1部第10章の $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$）。力が働き終わった後（$F=0$）の $H$ は振動子のエネルギー $E=\frac m2\dot x^2+\frac m2\omega_0^2x^2$ と一致し、$\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=F\dot x$ は力の仕事率である。

この方程式は、複素数 $z\coloneqq\dot x-\mathrm{i}\omega_0x$ を使うと1階の式 $\dot z=-\mathrm{i}\omega_0z+F(t)/m$ になり、$t\to-\infty$ で静止していた振動子について

$$z(t)=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0t}}{m}\int_{-\infty}^{t}F(t')\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0t'}\,\mathrm{d} t'\tag{2.1.7}$$

と解ける（右辺を微分すると確かめられる）。$\lvert z\rvert ^2=\dot x^2+\omega_0^2x^2=2E/m$ なので、力が働き終わった後のエネルギーは

$$\Delta E=\frac{1}{2m}\Bigl|\int_{-\infty}^{\infty}F(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0t}\,\mathrm{d} t\Bigr|^2\tag{2.1.8}$$

である。受け取るエネルギーは、力の時間変化のうち振動子の固有の角振動数 $\omega_0$ の成分（Fourier 成分）の大きさだけで決まる。この式は振幅の大小によらず厳密で、近似を使っていない。

図 2.1.1 に、例題 2.1.2 (1) の $\Delta E$ を撃力の値 $\pi F_0^2\tau^2/(2m)$ で割ったものを $\omega_0\tau$ の関数として描き、運動方程式を数値積分して得た値を重ねた。