この章のまとめ

(1) $\omega_0=2\pi c/\lambda=2.414\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Gamma=3.814\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}$ から

$$d_{eg}=\sqrt{\frac{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3\Gamma}{\omega_0^3}}=2.54\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}=2.99\,ea_0 .$$

$\Omega^2=d_{eg}^2E_0^2/\hbar^2=2Id_{eg}^2/(c\varepsilon_0\hbar^2)$ を $s_0=2\Omega^2/\Gamma^2$ に入れ、$I_{\mathrm{sat}}=c\varepsilon_0\hbar^2\Gamma^2/(4d_{eg}^2)$。$d_{eg}^2$ を $\Gamma$ で書き直すと式 (19.18) になり、$I_{\mathrm{sat}}=16.7\,\mathrm{W\,m^{-2}}$（例題 19.6 と同じ）。

(2) $s_0=50$ から $\Omega=5\Gamma$、$\Omega/2\pi=30.4\,\mathrm{MHz}$。$\pi$ パルスに当たる時間は $\pi/\Omega=16.5\,\mathrm{ns}$。式 (19.13) で $a=3\Gamma/4$、$\lambda=\sqrt{\Omega^2-\Gamma^2/16}=0.9987\,\Omega$ で、振動の周波数は $\Omega$ とほとんど同じである。包絡線の $1/\mathrm{e}$ の時間は $1/a=4/(3\Gamma)=35.0\,\mathrm{ns}$。その間の周期の数は $\lambda/(2\pi a)\approx2\Omega/(3\pi\Gamma)=1.06$ で、飽和強度の50倍でも振動は1周期ほどしか見えない。多くの周期を見るには $\Omega\gg\Gamma$、すなわち $I\gg I_{\mathrm{sat}}$ の強い光か、パルスの時間を $1/\Gamma$ より短くすることが要る。

(3) $\rho_{ee}=(s_0/2)/(1+s_0)=25/51=0.490$。散乱率は $\Gamma\rho_{ee}=1.87\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}$ で、上限 $\Gamma/2=1.91\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}$ にほぼ達している。全幅は $\Gamma\sqrt{51}/2\pi=43.3\,\mathrm{MHz}$。

(4) $\sigma_{\mathrm{abs}}=\hbar\omega_0\Gamma\rho_{ee}/I$ で $s_0\ll1$、$\Delta=0$ なら $\rho_{ee}=\Omega^2/\Gamma^2$ なので $\sigma_0=\hbar\omega_0\Omega^2/(\Gamma I)=2\omega_0d_{eg}^2/(\varepsilon_0\hbar c\Gamma)$。$\Gamma$ の式で $d_{eg}^2$ を消すと $\sigma_0=6\pi c^2/\omega_0^2=3\lambda^2/(2\pi)=2.91\times10^{-13}\,\mathrm{m^2}$。第10章の式に $f=2m\omega_0d_{eg}^2/(\hbar e^2)$（第1章）と $\gamma=\Gamma$（19.4節の $\gamma/2=1/T_2$）を入れると $fe^2/(\varepsilon_0mc\gamma)=2\omega_0d_{eg}^2/(\varepsilon_0\hbar c\Gamma)$ で、同じ式になる。光学的厚さは $N\sigma_0L=1\times10^{16}\times2.91\times10^{-13}\times2\times10^{-3}=5.81$、弱い光の吸収係数は $N\sigma_0=2.91\times10^3\,\mathrm{m^{-1}}$。$I=50\,I_{\mathrm{sat}}$ の入口では $1/(1+s_0)=1/51$ に下がって $57.0\,\mathrm{m^{-1}}$ になる。強い光は入口ではほとんど吸収されずに進み、奥で弱まってから吸収が戻るので、透過は弱い光の $\mathrm{e}^{-5.81}$ よりずっと大きい。

(5) $\Omega/\omega_0=1.907\times10^8/2.414\times10^{15}=7.9\times10^{-8}$。Bloch–Siegert のずれは $\Omega^2/(4\omega_0)=3.77\,\mathrm{s^{-1}}$ で、$\Gamma$ の $9.9\times10^{-8}$ 倍、パワー広がりした線幅と比べればさらに小さい。(2)〜(4) のどの数値も、回転波近似を外したときの補正は $10^{-7}$ の桁で、有効数字に現れない。この原子の遷移では、第18章の札の「$\Omega/\omega_0\to0$ の極限」に十分近い所にいる。