何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第19章 §19.5　★★ 回転波近似（第18章の札）・Markov 近似・位相の乱れを定数の率で置く閉じ方・場を古典に置く半古典論の4つと、磁気共鳴・光学的章動・エコー・電磁誘起透明化の実験

置いた近似

1つ目は回転波近似で、札は第18章に置いた。回転波近似は $\Omega/\omega_0$ と $\lvert \Delta\rvert /\omega_0$ を小さいとして、反対向きに回る成分（$\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i}\omega_{\mathrm L}t}$ で振動する項）を落とす。落とした項の主な影響は、共鳴の位置を $\Omega^2/(4\omega_0)$ だけ高い方へずらすことで、これを Bloch–Siegert のずれと呼ぶ（F. Bloch, A. Siegert (1940)、Phys. Rev. 57, 522）。光の遷移ではこのずれは自然幅に比べて非常に小さい（例題 19.8）。

2つ目は、自然放出を Lindblad 形のマスター方程式 (19.8) で書いたことである。原子と真空のモードの全体は可逆な Schrödinger 方程式に従うが、真空のモードの相関が原子の時間尺度より速く消えることと、結合が弱いことを使って、原子だけの方程式に記憶の無い減衰の項を残した。この近似は、結合の強さ $\lambda$ を $0$ に送り同時に時間を $\lambda^2t$ を一定に保って伸ばす極限（van Hove の弱結合極限）で正当化され、E. B. Davies (1974)、Commun. Math. Phys. 39, 91 がその極限でマスター方程式が正しいことを証明した。証明の筋は 近似の数理 第14章 に置く。光の遷移では $\Gamma/\omega_0\approx10^{-8}$ で、極限によく近い。

3つ目は、衝突などによる位相の乱れを定数の率 $\gamma_\phi$ で置いたことである。実際の衝突は、原子どうしの距離に依る準位のずれが短い時間だけ起こる過程で、その効果を1つの率にまとめるのは、衝突の時間が原子の他の時間尺度より十分短いときに限られる。衝突の詳細を計算せずに、未知の効果を既知の量（コヒーレンスそのもの）に比例する減衰で置き換えて方程式を閉じた点で、Boltzmann 方程式の緩和時間近似と同じ形をしている。

4つ目は、レーザーの場を古典的な振幅 $\bm{E}_0$ に置いた半古典論である。場を量子化すると、共振器の1つのモードと2準位原子の結合は Jaynes–Cummings 模型（第34章）になり、コヒーレント状態の場の下での Rabi 振動は、光子数ごとに違う Rabi 周波数の重ね合わせになる。平均の光子数 $\bar n_{\mathrm{ph}}$ が大きいほどその広がりは相対的に小さく、古典の Rabi 振動が長く続くが、Rabi の周期の数が $\sqrt{\bar n_{\mathrm{ph}}}$ 程度に達すると振動はつぶれる（J. H. Eberly, N. B. Narozhny, J. J. Sanchez-Mondragon (1980)、Phys. Rev. Lett. 44, 1323）。自由空間を進むレーザー光の多モードの場について、同じ形の評価が成り立つかどうかは、ここでは確かめていない。

何の実験の量で確かめるか

光 Bloch 方程式の直接の確かめは、Rabi 振動の周波数が光の振幅に比例する（強度の平方根に比例する）こと、減衰が $T_1$ と $T_2$ の組み合わせ (19.13) で決まること、定常状態の吸収が $1/(1+s)$ で飽和し、線が $\sqrt{1+s_0}$ で広がることである。

共鳴の線の形そのものは、磁気共鳴の最初の実験（I. I. Rabi, J. R. Zacharias, S. Millman, P. Kusch (1938)、Phys. Rev. 53, 318、分子線の核磁気共鳴）で測られた。Bloch 方程式は F. Bloch (1946)、Phys. Rev. 70, 460 が核磁化について立て、Rabi 振動の減衰（過渡章動）は H. C. Torrey (1949)、Phys. Rev. 76, 1059 が Bloch 方程式の過渡解として調べた。光の遷移での Rabi 振動（光学的章動）は、G. B. Hocker, C. L. Tang (1968)、Phys. Rev. Lett. 21, 591 が赤外のレーザーと分子の気体で観測した。$T_2$ と $T_2^*$ を分けるエコーは、磁気共鳴で Hahn (1950)、光で Kurnit ほか (1964) が示した。電磁誘起透明化は Boller ほか (1991) が観測し、第11章で引いた遅い光の実験につながった。