何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第18章 §18.5　★★ 2準位への縮約（A）・双極子近似（B）・回転波近似（B）。回転波近似の誤差は共鳴を $\Omega^2/(4\omega_0)$ だけずらす Bloch–Siegert のずれで、Floquet の方法で厳密に確かめられる

置いた近似

1つ目は、原子の多くの準位から $| g \rangle$ と $| e \rangle$ だけを残したことである。18.1節で見たとおり、縮退した励起状態の中では偏光が明るい状態を1つ決めるので縮約は厳密だが、離れた準位を捨てることは近似である。捨てた準位 $| j \rangle$ への結合は離調 $\omega_{\mathrm L}-\omega_{jg}$ で割られた2次の量として、2つの準位のエネルギーをずらす。共鳴に近い遷移が1つだけで、ほかの遷移への離調が $\Omega$ と $\Delta$ より十分大きいことが条件になる。18.2節の例題で見たとおり、遠い離調の光ではこの条件が崩れ、縮約した模型の答えはゲージの選び方にさえ左右される。

2つ目は双極子近似で、札は 18.2節に置いた。3つ目が回転波近似で、式 (18.12) の反回転の項を捨てた。式 (18.12) は周期 $\pi/\omega_{\mathrm L}$ で速く変わる係数を持つ常微分方程式で、速い振動を時間平均で消すのは平均化の方法（Krylov–Bogoliubov）の典型である。平均化の定理は、時間 $1/\Omega$ の桁の範囲で、平均した方程式の解と元の方程式の解の差が $\mathcal{O}(\Omega/\omega_0)$ にとどまることを保証する。

回転波近似の誤差：Bloch–Siegert のずれ

捨てた反回転の項の効果を、2次の摂動で見積もる。式 (18.12) の第3項は、$| g \rangle$ と $| e \rangle$ を強さ $\hbar\Omega/2$（直線偏光で $\Omega_{\mathrm{cr}}=\Omega$ のとき）でつなぐが、エネルギーの釣り合いが $\hbar(\omega_0+\omega_{\mathrm L})$ だけ外れている。2次の摂動のエネルギーのずれは、$| g \rangle$ が $-(\hbar\Omega/2)^2/[\hbar(\omega_0+\omega_{\mathrm L})]$、$| e \rangle$ がその逆で、遷移の周波数は$\Omega^2/[2(\omega_0+\omega_{\mathrm L})]$ だけ上がる。共鳴が起こるのは $\omega_{\mathrm L}$ がこのずれた遷移の周波数に等しいときで、$\omega_{\mathrm L}\approx\omega_0$ を代入して

$$\omega_{\mathrm{res}}\approx\omega_0+\frac{\Omega^2}{4\omega_0}\tag{18.18}$$

を得る。これが Bloch–Siegert のずれである（F. Bloch, A. Siegert (1940)、Phys. Rev. 57, 522）。同じ計算で、遠い離調の光シフトに反回転の項が足す分は $-\hbar\Omega^2/[4(\omega_0+\omega_{\mathrm L})]$ で、これを式 (18.17) に足したものが第1章の古典の分極率から出した双極子力 $-\frac{\hbar\Omega^2}{4}\bigl(\frac{1}{\omega_0-\omega_{\mathrm L}}+\frac{1}{\omega_0+\omega_{\mathrm L}}\bigr)$ に一致する。

式 (18.18) を摂動を使わずに確かめるには、Floquet の方法を使う。実験室の座標の Hamiltonian (18.9) は周期 $T=2\pi/\omega_{\mathrm L}$ で周期的なので、1周期の時間発展の演算子 $\hat U(T)$ の固有値は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon_kT/\hbar}$ の形をとる。$\varepsilon_k$ を準エネルギーと呼ぶ（J. H. Shirley (1965)、Phys. Rev. 138, B979）。回転波近似では準エネルギーの差が $\hbar\Omega'$ になり、$\Delta=0$ で最小値 $\hbar\Omega$ をとる。反回転の項を残して $\hat U(T)$ を数値で計算し、準エネルギーの差が最小になる $\omega_{\mathrm L}$ を探すと、それが本当の共鳴である。図 18.3 は $\Omega/\omega_0=0.3$ の場合で、最小は $\omega_{\mathrm L}/\omega_0=1.0216$ にあり、式 (18.18) の $1.0225$ とよく合う。

図 18.3　$\Omega/\omega_0=0.3$ の直線偏光の場の中の2準位原子の準エネルギーの差。実線は回転波近似の一般化 Rabi 周波数、点線は反回転の項を残した $\hat H=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z-\hbar\Omega\cos(\omega_{\mathrm L}t)\sigma_x$ の1周期の時間発展を数値で求めた結果である。点線の最小（共鳴）は $\omega_{\mathrm L}/\omega_0=1.0216$ にずれ、式 (18.18) の予言 $1.0225$ と合う。

何の実験の量で確かめるか

この章の行列 (18.13) を確かめる量は3つある。1つ目は Rabi 振動の周波数で、共鳴で $\Omega$ が電場の振幅に比例する（強度の平方根に比例する）こと、離調を付けると $\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$ に速くなることを、振動の周期から測る。Rabi の分子線の磁気共鳴（I. I. Rabi ほか (1938)、Phys. Rev. 53, 318）以来、原子・イオン・超伝導回路の量子ビットで同じ形が確かめられている。量子ビットの操作の $\pi$ パルスと $\pi/2$ パルスは、この式で長さを決めている。

2つ目は服を着た状態の分裂で、Autler–Townes の2本の線の間隔が $\Omega'$ になることと、遠い離調の光シフトが強度に比例し離調に反比例することを、別の弱い光の分光で測る。光格子時計の魔法波長（第28章）は、2つの時計の準位の光シフトをそろえる波長のことである。

3つ目は回転波近似の破れで、Bloch–Siegert のずれ (18.18) を測る。原子と可視光では $\Omega/\omega_0$ が $10^{-8}$ の桁で、第1章の例題の条件（$\Omega/2\pi=8.78\,\mathrm{MHz}$、$780\,\mathrm{nm}$）ではずれは $0.050\,\mathrm{Hz}$ にすぎない。ずれが大きく見えるのは、結合が遷移の周波数に比べて強い系で、超伝導の量子ビットと LC 共振器を強く結合させた回路で $50\,\mathrm{MHz}$ の Bloch–Siegert のずれが観測されている（P. Forn-Díaz ほか (2010)、Phys. Rev. Lett. 105, 237001。結合は光子の量子化したモードとの結合で、この章の古典場の式の量子版にあたる）。