授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第18章 §18.6　★★ 時間に依存する摂動論の1次の遷移確率は、Rabi の式の $\Omega\to0$ の極限。磁気共鳴の回転座標は同じ変換

学部の量子力学の授業では、光による遷移を時間に依存する摂動論で習う。摂動 $\hat V(t)=\hat V_0\cos\omega t$ を $t=0$ に入れると、1次の摂動で $| g \rangle$ から $| e \rangle$ に移る確率は

$$P_{e}^{(1)}(t)=\frac{\lvert \langle e | \hat V_0 | g \rangle \rvert ^2}{\hbar^2}\,\frac{\sin^2\bigl((\omega-\omega_0)t/2\bigr)}{(\omega-\omega_0)^2}$$

になる（$\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}$ の項は分母が $\omega+\omega_0$ で小さいとして落とす。これは回転波近似と同じ操作である）。$\hat V_0=-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}_0$ なら $\lvert \langle e | \hat V_0 | g \rangle \rvert /\hbar=\Omega$ で、

$$P_e^{(1)}(t)=\frac{\Omega^2}{\Delta^2}\sin^2\frac{\Delta t}{2}$$

と書ける。これは Rabi の式 (18.16) で $\Omega'$ を $\lvert \Delta\rvert$ に置き換えたもので、$\Omega\ll\lvert \Delta\rvert$ か $\Omega t\ll1$ のときの極限にあたる。摂動論は $| g \rangle$ の確率が減ることを入れていないので、共鳴で $P_e^{(1)}=(\Omega t/2)^2$ が時間とともに際限なく増える。Rabi の式はその増え方を $\sin^2(\Omega t/2)$ で止め、確率が $1$ を超えないようにしたものである。長い時間で $\sin^2(\Delta t/2)/\Delta^2\to(\pi t/2)\delta(\Delta)$ とおくと Fermi の黄金律になり、幅のある光に対する遷移の速さと Einstein の B 係数が出る（第20章、第20章）。

授業で使う相互作用の形は、電磁気の授業の流れでは $\hat H_1=(e/m)\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$（速度のゲージ）、光学・量子エレクトロニクスの授業では $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}$（長さのゲージ）である。共鳴で2つのゲージの Rabi 周波数が一致することは式 (18.8) で示した。

磁気共鳴（NMR・ESR）の授業では、静磁場 $B_0\bm{e}_z$ の中のスピンに、$xy$ 面内で回転する磁場を当て、磁場と一緒に回る座標で見ると静磁場が $B_0-\omega/\gamma$ に減って見える、と習う。これは式 (18.11) の変換と同じで、$-\frac{\hbar\omega_{\mathrm L}}{2}\sigma_z$ の項が「減って見える静磁場」にあたる。振動磁場を当てたときに回転磁場の半分だけを残すのが回転波近似で、これも図 18.1 と同じ見方である。スピンの歳差の古典との対応は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第5章 にあり、第19章ではこの $2\times2$ 行列を Bloch 球の上の歳差として書く。