出てくるもの：服を着た状態・一般化 Rabi 周波数・光シフト

光学と量子エレクトロニクス　第18章 §18.4　★★★ 回転座標の $2\times2$ 行列の固有値は $\pm\hbar\Omega'/2$。準位は避け合い、遠い離調では基底状態が $\hbar\Omega^2/(4\Delta)$ だけずれる（赤い離調で下がる）。これが第5部の双極子力の出発点

対角化

式 (18.13) は、大きさ $\Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$ の「有効な磁場」$(\Omega,0,\Delta)$ の中のスピンの形 $-\frac{\hbar}{2}(\Omega\sigma_x+\Delta\sigma_z)$ をしている。角度 $\theta\in[0,\pi]$ を $\cos\theta=-\Delta/\Omega'$、$\sin\theta=\Omega/\Omega'$ で定めると $\tilde H_{\mathrm{RWA}}=\frac{\hbar\Omega'}{2}(\cos\theta\,\sigma_z-\sin\theta\,\sigma_x)$ で、固有値と固有状態は

$$E_\pm=\pm\frac{\hbar\Omega'}{2},\qquad| + \rangle =\cos\frac\theta2| e \rangle -\sin\frac\theta2| g \rangle ,\qquad| - \rangle =\sin\frac\theta2| e \rangle +\cos\frac\theta2| g \rangle\tag{18.15}$$

になる。$| \pm \rangle$ を服を着た状態（dressed state）と呼ぶ。原子の準位が光の場をまとって混ざった状態という意味である。

遠い赤い離調（$\Delta\to-\infty$）では $\theta\to0$ で、$| - \rangle \to| g \rangle$、$| + \rangle \to| e \rangle$ になる。遠い青い離調（$\Delta\to+\infty$）では $\theta\to\pi$ で、入れ替わって $| + \rangle \to-| g \rangle$、$| - \rangle \to| e \rangle$ になる。回転座標では光が無いときの準位は $| g \rangle$ が $+\hbar\Delta/2$、$| e \rangle$ が $-\hbar\Delta/2$ で、$\Delta=0$ で交わる。結合 $\Omega$ を入れると2本の線は交わらずに避け合い、最も近づいた所（共鳴）の間隔が $\hbar\Omega$ になる（図 18.2）。

一般化 Rabi 周波数

$t=0$ に $| g \rangle$ にあった原子は、$| g \rangle =\cos\frac\theta2| - \rangle -\sin\frac\theta2| + \rangle$ の2つの成分が $\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i}\Omega't/2}$ の位相で進むので、

$$P_e(t)=\lvert \langle e | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tilde H_{\mathrm{RWA}}t/\hbar} | g \rangle \rvert ^2=\sin^2\theta\,\sin^2\frac{\Omega't}{2}=\frac{\Omega^2}{\Omega'^2}\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{18.16}$$

を得る（回転座標の変換 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathrm L}t\sigma_z/2}$ は $| e \rangle$ と $| g \rangle$ の位相を変えるだけなので、$P_e$ は実験室の座標でも同じ）。$\Omega'$ を一般化 Rabi 周波数と呼ぶ。振動の周波数は2つの服を着た状態のエネルギーの差 $\Omega'$ で、振幅は混ざり具合 $\sin^2\theta$ で決まる。離調が大きいほど振動は速く、浅くなる。長い時間の平均 $\overline{P_e}=\Omega^2/[2(\Omega^2+\Delta^2)]$ は $\Delta$ の関数として半値半幅 $\Omega$ の Lorentz 型で、光が強いほど共鳴の幅が広がる。減衰を入れた本当の線形と線幅は第19章（第19章）で扱う。

光シフト

$\lvert \Delta\rvert \gg\Omega$ では、$| g \rangle$ につながる服を着た状態のエネルギーは、光が無いときの値 $+\hbar\Delta/2$ から

$$\Delta E_g=\mathrm{sgn}(\Delta)\,\frac{\hbar}{2}\bigl(\Omega'-\lvert \Delta\rvert \bigr)\approx\frac{\hbar\Omega^2}{4\Delta}\tag{18.17}$$

だけずれる。$\Delta<0$ では $| g \rangle$ につながるのは下の $| - \rangle$ で、ずれは $-\frac\hbar2(\Omega'-\lvert \Delta\rvert )$、$\Delta>0$ では上の $| + \rangle$ で、ずれは $+\frac\hbar2(\Omega'-\lvert \Delta\rvert )$ である。どちらも式 (18.17) の形にまとまる。回転座標への変換は $| g \rangle$ と $| e \rangle$ のエネルギーを $\pm\hbar\omega_{\mathrm L}/2$ だけ一様にずらすだけなので、このずれは実験室の座標での準位のずれ（光シフト、AC Stark シフト）でもある。$| e \rangle$ は逆向きに同じだけずれる。

赤い離調では基底状態が下がり、光が強い所ほど深く下がる。原子は光の強い所に引き寄せられる。これが第1章で古典の分極率から出した双極子力のポテンシャル $U_{\mathrm{dip}}=\hbar\Omega^2/(4\Delta)$ と同じものであることは、第1章の例題で確かめた。空間的に強さが変わる光の中で、この準位のずれが原子の重心にとってのポテンシャルになる、という見方で第25章（第25章）の双極子力と第27章（第27章）の光格子を書く。

服を着た状態は、ほかの準位を探りに使う第2の弱い光で直接見ることができる。$| e \rangle$ からさらに上の準位 $| f \rangle$ への遷移を弱い光で調べると、共鳴の強い光を当てた状態では $| e \rangle$ の成分が $| + \rangle$ と $| - \rangle$ の2つに分かれているので、吸収の線は間隔 $\Omega'$ の2本に割れる。これを Autler–Townes の分裂と呼ぶ（S. H. Autler, C. H. Townes (1955)、Phys. Rev. 100, 703。分子のマイクロ波の遷移で観測された）。