この章のまとめ

(1) $I=1.0\times10^4\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ なので $E_0=\sqrt{2I/(c\varepsilon_0)}=\sqrt{2\times10^4/(2.998\times10^8\times8.854\times10^{-12})}=2.74\times10^3\,\mathrm{V\,m^{-1}}$。$d=3.0\times1.602\times10^{-19}\times5.292\times10^{-11}=2.54\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}$ で、$\Omega=dE_0/\hbar=6.62\times10^8\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Omega/2\pi=105\,\mathrm{MHz}$。

(2) $ka_0=2\pi a_0/\lambda_0=3.90\times10^{-4}$。$\omega_0=2\pi c/\lambda_0=2.211\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ なので $\Omega/\omega_0=2.99\times10^{-7}$、$\lvert \Delta\rvert /\omega_0=2.84\times10^{-6}$。$\Omega/\lvert \Delta\rvert =0.105$。双極子近似と回転波近似の小さいパラメータはどちらも $10^{-4}$ 以下で、光シフトを $\Omega^2$ の1次で書く展開の小さいパラメータ $\Omega/\lvert \Delta\rvert$ が一番大きい。

(3) $\Omega'/2\pi=\sqrt{105.37^2+1000^2}=1005.5\,\mathrm{MHz}$。$\Delta<0$ なので $| g \rangle$ は下の服を着た状態につながり、厳密なずれは $-\frac12(1005.54-1000)=-2.77\,\mathrm{MHz}$、近似では $105.37^2/(4\times(-1000))=-2.78\,\mathrm{MHz}$ で、差は $0.28\%$（$\Omega^2/(4\Delta^2)$ の桁）である。$\lvert \Delta E_g\rvert / k_{\mathrm B}=h\times2.77\,\mathrm{MHz}/ k_{\mathrm B}=133\,\mu\mathrm K$。赤い離調なので基底状態は光の強い所ほど下がり、原子は光の強い所に引き寄せられる。

(4) 反回転の項の寄与は $-\Omega^2/[4(\omega_0+\omega_{\mathrm L})]$ で、周波数にすると $-3.9\,\mathrm{Hz}$。共回転の光シフトに対する比は $\lvert \Delta\rvert /(\omega_0+\omega_{\mathrm L})=1.4\times10^{-6}$ である。Bloch–Siegert のずれは $\Omega^2/(4\omega_0)$ で $7.9\,\mathrm{Hz}$。

(5) 式 (18.8) から光シフトは $(\omega_0/\omega_{\mathrm L})^2$ 倍で、$\omega_{\mathrm L}=\omega_0+\Delta$ なので $(\omega_0/\omega_{\mathrm L})^2-1\approx-2\Delta/\omega_0=5.7\times10^{-6}$ だけ違う。(4) の反回転の項の比と同じく $10^{-6}$ の桁で、(3) の展開の誤差 $0.28\%$ より3桁小さい。この条件で光シフトの数値を左右するのは $\Omega/\lvert \Delta\rvert$ の展開だけで、回転波近似と2準位への縮約（ゲージの違いを含む）は疑う必要がない。第1章の総合問題の $1064\,\mathrm{nm}$ の光トラップでは $\lvert \Delta\rvert /\omega_0=0.27$ だったので、同じ勘定で反回転の項が $15\%$、ゲージの違いが $86\%$ になり、そちらでは2準位の回転波近似の模型を使うことはできない。2つの条件を分けるのは、捨てた項の大きさを決める $\lvert \Delta\rvert /\omega_0$ である。