当てる道具：相互作用描像と1次の摂動

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第12章 §4.12.2　★★★ 解ける $\hat H_0$ の時間発展に乗った描像で、残りの $\hat H_1$ だけで状態を動かす。1次の遷移確率は古典の振動子が外力から吸うエネルギーと同じ関数になる

相互作用描像

第4部第3章（第4部第3章）で、Hamiltonian を $\hat H_0+\hat H_1(t)$ と分けたときの相互作用描像を導入した。状態と摂動を

$$| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi(t) \rangle ,\qquad \hat H_{1,\mathrm I}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\hat H_1(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\tag{4.12.8}$$

と定めると、

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle =\hat H_{1,\mathrm I}(t)| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle\tag{4.12.9}$$

となる。$\hat H_1=0$ なら $| \psi_{\mathrm I} \rangle$ は動かない。$\hat H_0$ による時間発展を状態から取り除き、$\hat H_1$ による変化だけを残したのが相互作用描像である。

状態を $\hat H_0$ の固有状態で $| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle =\sum_nc_n(t)| n \rangle$ と展開すると、$c_n$ は「$\hat H_0$ だけで動いたときの位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}$ を除いた振幅」で、式 (4.12.9) は

$$\mathrm{i}\hbar\,\dot c_f(t)=\sum_n\langle f | \hat H_1(t) | n \rangle \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fn}t}c_n(t),\qquad \omega_{fn}=\frac{E_f-E_n}{\hbar}\tag{4.12.10}$$

になる。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$ を $\langle f |$ と $| n \rangle$ に当てると位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_f-E_n)t/\hbar}$ が出ることを使った。

1次の摂動

時刻 $0$ に状態 $| i \rangle$ にいたとする（$c_n(0)=\delta_{ni}$）。$\hat H_1$ が小さいなら、右辺の $c_n(t)$ を初めの値で置き換えてよく、

$$c_f(t)\approx\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_0^t\langle f | \hat H_1(t') | i \rangle \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fi}t'}\mathrm{d} t'\qquad(f\neq i)\tag{4.12.11}$$

を得る。式 (4.12.9) を積分方程式 $| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle =| i \rangle +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_0^t\hat H_{1,\mathrm I}(t')| \psi_{\mathrm I}(t') \rangle \mathrm{d} t'$ に書き直して、右辺に繰り返し代入した級数（Dyson 級数）の1次の項にあたる。2次以降の項には時刻を順に並べた積 $\hat H_{1,\mathrm I}(t_1)\hat H_{1,\mathrm I}(t_2)\cdots$（$t_1>t_2>\cdots$）が現れる。第4部第2章（第4部第2章）で述べた、時刻を含む $\hat H(t)$ の時間発展を時間順序積で書く式を、$\hat H_1$ について展開したものである。

摂動が角振動数 $\omega$ で振動するときは、エルミートな $\hat H_1(t)$ を

$$\hat H_1(t)=\hat H_\omega\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\hat H_\omega^\dagger\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\tag{4.12.12}$$

と書く。平面波 (4.12.6) なら $\hat H_\omega=-\frac{q}{2m}A_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\hat{\bm{r}}}\bm{e}\cdot\hat{\bm{p}}$ である（$\bm{e}\cdot\bm{k}=0$ なので $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\hat{\bm{r}}}$ と $\bm{e}\cdot\hat{\bm{p}}$ は交換する）。式 (4.12.11) に入れると、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ の項は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{fi}-\omega)t'}$ を、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ の項は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{fi}+\omega)t'}$ を積分することになる。$E_f>E_i$（吸収）で $\omega$ が $\omega_{fi}$ に近いとき、前者の積分は $t$ に比例して大きくなり、後者は振動して $\mathcal{O}(1/\omega)$ にとどまる。前者だけを残し、離調を $\Delta=\omega-\omega_{fi}$（光の角振動数 $-$ 遷移の角振動数。記法の正本の流儀）とおくと、$\lvert \int_0^t\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Delta t'}\mathrm{d} t'\rvert ^2=\sin^2(\Delta t/2)/(\Delta/2)^2$ から

$$P_{f\leftarrow i}(t)=\lvert c_f(t)\rvert ^2=\frac{\lvert \langle f | \hat H_\omega | i \rangle \rvert ^2}{\hbar^2}\,\frac{\sin^2(\Delta t/2)}{(\Delta/2)^2}\tag{4.12.13}$$

を得る。共鳴（$\Delta=0$）では $P=\lvert \langle f | \hat H_\omega | i \rangle \rvert ^2t^2/\hbar^2$ で、時間の2乗で増える。$E_f<E_i$ の場合は、逆に $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ の項が共鳴し、$\hat H_\omega$ を $\hat H_\omega^\dagger$ に替えた同じ式になる。これが誘導放出で、4.12.5節で使う。

正しさの範囲：2準位の厳密解と比べる

1次の式 (4.12.13) は確率なので、$1$ を超えたら明らかに使えない。どこまで使えるかを、厳密に解ける2準位の場合で確かめる。双極子の形（4.12.4節）で $\hat H_\omega=-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{e} E_0/2$ とし、Rabi 周波数を $\Omega=\bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}E_0/\hbar$（位相を選んで実数）とおくと$\lvert \langle e | \hat H_\omega | g \rangle \rvert =\hbar\Omega/2$ で、共鳴の1次の答えは $P_e=(\Omega t/2)^2$ である。一方、共鳴しない項を落とした2準位の Schrödinger 方程式は$\mathrm{i}\dot c_e=\frac\Omega2c_g$, $\mathrm{i}\dot c_g=\frac\Omega2c_e$（共鳴のとき）となり、厳密解は $P_e=\sin^2(\Omega t/2)$ である（Rabi 振動。光学と量子エレクトロニクス 第19章で詳しく扱う。光学と量子エレクトロニクス 第19章）。$\sin^2x\approx x^2$ だから、両者は $\Omega t\ll1$ で一致する。図 4.12.1 のとおり、1次の答えが厳密解の $1.1$ 倍になるのは $\Omega t=1.06$、$P_e=0.26$ のときで（厳密解が1次の答えの $0.9$ 倍になる所を基準にとると $\Omega t=1.118$、$P_e=0.281$ で、光学と量子エレクトロニクス 第18章はこちらの基準で書いている。光学と量子エレクトロニクス 第18章）、遷移確率が $0.1$ 程度までなら1次の式は数 $\%$ の精度で正しい。

古典の対応物：定数変化法

古典力学では、解ける $H_0$ の解の積分定数（作用角変数や複素振幅）を新しい変数に選び、残りの $H_1$ による積分定数の変化を追う方法がこれに当たる。解ける部分の解に乗った座標に移る操作は、第1部第12章（第1部第12章）で述べた「時間発展そのものが正準変換である」ことを使った正準変換で、相互作用描像の $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$ はその量子版である。次の例題で、調和振動子についてこの対応を具体的に確かめる。