何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第6章 §2.6.6　★★ 比熱と Pauli 磁化率は $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ を、トンネル分光と光吸収は $D(\varepsilon )$ の形（van Hove 特異点）を測る。教科書ごとの状態密度の規格化の違いを式で並べる

何の実験の量で確かめるか

Fermi 準位の状態密度は、低温の電子比熱と Pauli 磁化率に現れる。電子比熱は、Fermi 分布関数の幅 $k_{\mathrm B} T$ の中の電子だけが熱を受け取れることから

$$C_{\mathrm{el}}=\frac{\pi^2}{3} k_{\mathrm B}^2D(\varepsilon _{\mathrm F})\,T\qquad(\text{単位体積あたり})\tag{2.6.19}$$

になる（Sommerfeld 展開による導出は第4部第1章）。Pauli 磁化率は、磁束密度 $B$ の中で上向きと下向きのスピンの準位が $\pm\mu_{\mathrm B}B$ ずれ、Fermi 準位の近くの $\frac12D(\varepsilon _{\mathrm F})\mu_{\mathrm B}B$ 個（単位体積あたり）の電子が一方のスピンから他方へ移ることから出る。磁化は $M=\mu_{\mathrm B}\cdot D(\varepsilon _{\mathrm F})\mu_{\mathrm B}B$ で、$B\approx\mu_0H$ として

$$\chi_{\mathrm m}=\mu_0\mu_{\mathrm B}^2D(\varepsilon _{\mathrm F})\tag{2.6.20}$$

である。どちらも $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ に比例するので、比 $(C_{\mathrm{el}}/T)/\chi_{\mathrm m}=\pi^2 k_{\mathrm B}^2/(3\mu_0\mu_{\mathrm B}^2)$ は状態密度によらない普遍的な値になる。この比を普遍値で割ったもの（Wilson 比）が $1$ からずれることは、電子どうしの相互作用の目印になる（第5部第1章）。

状態密度の形は、エネルギーを選んで準位を数える測定に現れる。走査トンネル顕微鏡（STM）の探針と試料の間の電流を電圧 $V_{\mathrm b}$ で微分した $\mathrm{d} I/\mathrm{d} V_{\mathrm b}$ は、試料の表面の局所的な状態密度を $\varepsilon _{\mathrm F}+eV_{\mathrm b}$ で測った量にほぼ比例する（第4部第7章）。1次元に近い炭素ナノチューブでは、$\mathrm{d} I/\mathrm{d} V_{\mathrm b}$ に1次元の van Hove 特異点の鋭い山が並ぶことが観測された（J. W. G. Wildöer ほか（1998）、Nature 391、59。T. W. Odom ほか（1998）、Nature 391、62）。光の吸収は、占有された準位から空の準位への遷移を数えるので、2つのバンドの差 $\varepsilon _{n'}(\bm{k})-\varepsilon _n(\bm{k})$ についての状態密度（結合状態密度）を測る。その臨界点が吸収スペクトルの折れや山として現れることは第4部第6章で扱う。光電子分光は、占有された準位の状態密度を、角度分解すれば $\varepsilon _n(\bm{k})$ そのものを測る。

授業で習った形との対応

学部の授業では、状態密度を結晶全体について数えることが多い。体積 $V_{\mathrm{cr}}$（この章の $Nv_{\mathrm c}$）の結晶の自由電子について、「波数空間で1つの状態が占める体積は $(2\pi/L)^3$」から

$$D_{\text{全体}}(E)=\frac{V_{\mathrm{cr}}}{2\pi^2}\Bigl(\frac{2m}{\hbar^2}\Bigr)^{3/2}\sqrt E$$

と書く。この章の $D(\varepsilon )$ との関係は $D_{\text{全体}}=V_{\mathrm{cr}}D$ で、式 (2.6.10) の1行目に結晶の体積を掛けただけである。スピンを数えない（1スピンあたりの）状態密度を使う教科書では、さらに $1/2$ 倍になる。$D(E)$・$g(E)$・$N(E)$ と記号も揺れるので、どの規格化かは式の積分（全電子数になるか、1サイトあたり1になるか）で確かめるのが確実である。

1次元の状態密度を、授業では「$\mathrm{d} E$ の間の状態の数は $\frac{L}{2\pi}\cdot2\lvert \mathrm{d} k\rvert$」と $\pm k$ の2つの向きを数えて出す。この章の式 (2.6.9) で $d=1$ とし、「面」を2点とした場合と同じ計算である。van Hove 特異点は、授業では3次元の $M_0$〜$M_3$ の $\sqrt{\phantom{x}}$ の折れを図で示すことが多い。この章では、それを臨界点のまわりの2次の展開 (2.6.14) と変数変換で導き、個数の下限を Brillouin 域がトーラスであることから出した。授業でバンド図を $\Gamma$–X–M–$\Gamma$ のような対称性の高い点を結ぶ線の上で描くのは、多くの臨界点が対称性の高い点にあり（勾配が対称性によって $0$ になるため）、その線の上で状態密度の特異点のエネルギーが読めるからである。