何を削ったか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第6章 §2.6.5　★★ 状態密度を滑らかな関数として扱うために、結晶の大きさを無限にし、準位の幅を $0$ とし、次元とホッピングの範囲を限っている。特異点はこれらで丸まる

削ったもの

この章の状態密度は、4つのものを削って得たものである。

1つめは結晶の有限の大きさである。$N$ が有限なら準位は飛び飛びで、式 (2.6.6) の $D(\varepsilon )$ はデルタ関数の和である。滑らかな $D(\varepsilon )$ は $N\to\infty$ の極限でしか意味を持たず、しかもその極限は点ごとの値の極限ではない。極限が意味を持つのは積分した状態密度 $\mathcal N(\varepsilon )$ の側で、周期境界条件のもとでは固有値が格子点の上の $\varepsilon _n(\bm{k})$ そのものなので、$\mathcal N(\varepsilon )$ は Brillouin 域の積分の Riemann 和になり、等エネルギー面の測度が $0$ である限り収束する。次の例題で見るように、有限の $N$ では van Hove 特異点の所にデルタ関数の大きな重みが集まることがあるが、その重みは $N\to\infty$ で $0$ になる。

2つめは準位の幅である。この章の $\varepsilon _n(\bm{k})$ は、寿命が無限に長い1電子の準位として扱った。実在の電子は、不純物・フォノン・他の電子に散乱されて有限の寿命 $\tau$ を持ち、準位はエネルギーの幅 $\hbar/\tau$ 程度にぼける。状態密度はこの幅で平均されるので、対数発散は有限の山（高さはおよそ $\frac{1}{2\pi^2t}\ln\frac{t}{\hbar/\tau}$）に、$\sqrt{\phantom{x}}$ の折れは丸い肩になる。不規則さが強くなると、帯の端にも状態が染み出す。

3つめは次元である。層状の結晶を2次元の正方格子として扱うと、層の間のホッピング $t_\perp$ を削ったことになる。$t_\perp$ を戻すと$\varepsilon =-2t(\cos k_xa+\cos k_ya)-2t_\perp\cos k_zc$（$c$ は層の間隔）で、状態密度は式 (2.6.17) と同じ形の平均$D_{\mathrm{site}}(\varepsilon )=\frac1\pi\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\,D^{\mathrm{sq}}_{\mathrm{site}}(\varepsilon +2t_\perp\cos\theta)$ になる。$t_\perp\ll t$ なら $\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm a}$ で式 (2.6.15) を入れて

$$D_{\mathrm{site}}(\varepsilon _{\mathrm a})\approx\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi^2t}\ln\frac{16t}{2t_\perp\lvert \cos\theta\rvert }=\frac{1}{2\pi^2t}\ln\frac{16t}{t_\perp}\tag{2.6.18}$$

を得る（$\frac1\pi\int_0^\pi\ln\lvert \cos\theta\rvert \,\mathrm{d}\theta=-\ln2$ を使った）。2次元の対数発散は、$t_\perp$ によって $\ln(t/t_\perp)$ の高さで頭打ちになり、$\varepsilon _{\mathrm a}\pm2t_\perp$ の2つの3次元の折れに分かれる。

4つめはホッピングの範囲と軌道の数である。この章の数値例は、1サイトに軌道1個、最近接のホッピングだけを残した。例題 2.6.4 で見たように、第2近接を入れると特異点の位置と係数は変わる。ただし特異点の種類と最小個数は定理 2.6.6 で決まっていて、ホッピングの細部によらない。状態密度の形のうち、ホッピングを削っても残るのはこの位相的な部分であり、削ると変わるのは特異点の位置と係数である。