この章のまとめ

(1) 式 (2.6.4) の $\cos$ の和は $-2$ から $2$ を動くので、帯は $[-4t,4t]$、幅は $8t$ である。許される $\bm{k}$ は Brillouin 域の中に単位胞の数と同じ $N^2$ 個（第1部第2章）、スピンを入れて $2N^2$ 個の電子が入る。$\Gamma$ の近くで $\varepsilon \approx-4t+ta^2k^2$ なので、$\hbar^2/(2m^*)=ta^2$ より $m^*=\hbar^2/(2ta^2)$ で、第2部第3章の輪の有効質量と同じである。

(2) 例題 2.6.2 のとおり、$\varepsilon _{\mathrm F}=0$ で、Fermi 線は菱形 $\lvert k_x\rvert +\lvert k_y\rvert =\pi/a$ である。菱形の内側が Brillouin 域のちょうど半分で、$2N^2$ 個の準位のうち $N^2$ 個が埋まる。

(3) 2次元の放物線の状態密度 (2.6.10) に $m^*$ を入れ、$v_{\mathrm c}/2=a^2/2$ を掛けて $D_{\mathrm{site}}=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{m^*}{\pi\hbar^2}=\frac{1}{4\pi t}=\frac{0.0796}{t}$ である。式 (2.6.16) では $\varepsilon \to-4t$ で $K(0)=\pi/2$ なので $\frac{1}{2\pi^2t}\cdot\frac\pi2=\frac{1}{4\pi t}$ で、一致する。1サイトあたり $0.2$ 個の電子は、両スピンで $2\int_{-4t}^{\varepsilon _{\mathrm F}}D_{\mathrm{site}}\,\mathrm{d}\varepsilon =0.2$ を満たす $\varepsilon _{\mathrm F}$ で決まる。$D_{\mathrm{site}}$ を一定値 $1/(4\pi t)$ とすると$2\cdot\frac{\varepsilon _{\mathrm F}+4t}{4\pi t}=0.2$ から $\varepsilon _{\mathrm F}+4t=0.4\pi t=1.257t$ である。正確な値 $1.160t$ より $8\%$ 高い。$K(k)$ は $k$ とともに増えるので、正確な $D_{\mathrm{site}}$ は帯の底から離れるにつれて $1/(4\pi t)$ より大きくなる。同じ数の電子を入れるのに必要なエネルギーの幅は、状態密度が大きいほど狭くて済むので、正確な $\varepsilon _{\mathrm F}$ は放物線の近似より低い。状態密度が上がるのは、第4節の鞍点 X・Y（$\varepsilon =0$）へ向かって等エネルギー線が伸び、$\lvert \nabla\varepsilon \rvert$ が小さくなるからである。

(4) 第4節のとおり X の近くで $\varepsilon \approx-ta^2q_x^2+ta^2q_y^2$、$m_x=m_y=m^*$ の鞍点で、命題 2.6.5 の対数の係数は1つの鞍点あたり単位面積・両スピンで $m^*/(\pi^2\hbar^2)$ である。X と Y の2つ分に $a^2/2$ を掛けて $D_{\mathrm{site}}\approx\frac{1}{2\pi^2t}\ln\frac{1}{\lvert \varepsilon \rvert }+\mathrm{const}$ で、定数まで含めると式 (2.6.15) の $\frac{1}{2\pi^2t}\ln\frac{16t}{\lvert \varepsilon \rvert }$ になる。$\varepsilon =0.01t$ では $\frac{\ln1600}{2\pi^2t}=\frac{0.37376}{t}$ で、式 (2.6.16) の値 $0.37376/t$ と有効数字5桁で一致する。

(5) 1サイト1個の電子では $\varepsilon _{\mathrm F}=0$ がちょうど対数発散の位置なので、$D(\varepsilon _{\mathrm F})$ は有限でなく、式 (2.6.19) の係数は定まらない。式 (2.6.19) は、$D$ が $k_{\mathrm B} T$ の幅で滑らかであることを前提にした Sommerfeld 展開（第4部第1章）の1項目だからである。目安として幅 $k_{\mathrm B} T$ で平均すると、式 (2.6.15) から

$$\frac{1}{2 k_{\mathrm B} T}\int_{- k_{\mathrm B} T}^{ k_{\mathrm B} T}\frac{1}{2\pi^2t}\ln\frac{16t}{\lvert \varepsilon \rvert }\,\mathrm{d}\varepsilon =\frac{1}{2\pi^2t}\Bigl(\ln\frac{16t}{ k_{\mathrm B} T}+1\Bigr)$$

で、$k_{\mathrm B} T=0.01t$ では $(\ln1600+1)/(2\pi^2t)=0.424/t$ である。$\gamma=C_{\mathrm{el}}/T$ は温度を下げるにつれて $\ln(1/T)$ のように増え、一定の値に落ち着かない。実在の層状の物質では、第5節の層の間のホッピングと準位の幅がこの増え方をどこかで止める。